ARGOMENTO DELLE LEZIONI SVOLTE

1. Manipolazioni algebriche di oggetti geometrici: forze
   applicate, rototraslazioni di coordinate. Matrici. Prodotto
   righe per colonne. (1/3/99)

2. Richiami sugli insiemi dei numeri naturali, interi, razionali,
   reali. Assiomi di gruppo. Assiomi di campo. Il principio di induzione.
   Il campo con due elementi. Numeri di Fibonacci. (1/3/99)

3. Non razionalita' della radice di 2. Esempio di campo intermedio tra 
   i razionali e i reali. Definizione ed esempi di spazi vettoriali. 
   Vettori riga e colonna, matrici, polinomi, funzioni. (2/3/99)

4. Sottospazi vettoriali, esempi. Intersezione di sottospazi. Sottospazio 
   generato da un insieme di vettori. (2/3/99)

5. Combinazioni lineari. Dipendenza e indipendenza lineare. 
   Caratterizzazione dello spazio generato. (4/3/99)

6. Basi, coordinate, la bigezione con lo spazio dei vettori colonna.
   Basi canoniche per matrici e polinomi. (9/3/99)

7. Vettori linearmente indipendenti contenuti nello spazio generato
   da altri vettori: diseguaglianza sul numero. Buona definizione della
   dimensione. (9/3/99)

8. Dimensione di uno spazio vettoriale sui razionali. Dimensione dello
   spazio dei polinomi. Estrazione e completamento di basi. Criteri per
   l'individuazione di basi in uno spazio di dimensione finita. (11/3/99)

9. Formula per i numeri di Fibonacci in termini di successioni geometriche.
   Disuguaglianza tra le dimensioni di spazi contenuti l'uno nell'altro.
   Criterio di uguaglianza. (11/3/99)

10. Somma di sottospazi. Formula di Grassman per la dimensione della
    somma di sottospazi. Esempi di applicazione. (12/3/99)

11. Somma diretta. Isomorfismo di gruppi e di spazi vettoriali.
    Uguaglianza tra le dimensioni come condizione di isomorfismo. (16/3/99)

12. Applicazioni lineari. Spazio vettoriale delle applicazioni
    lineari. Nucleo, immagine. Applicazione lineare associata
    ad una matrice rettangolare. (16/3/99)

14. Prodotto righe per colonne di matrici. Applicazione tra spazi di
    matrici associata ad una matrice triangolare. Formula per la 
    dimensione di nucleo ed immagine di una applicazione lineare. (18/3/99)

14. Definizione di una applicazione lineare su una base. Calcolo della
    dimensione dello spazio delle applicazioni lineari. (18/3/99)

15. Matrice associata ad una applicazione lineare. Bigettivita'
    e linearita' della corrispondenza tra matrici e applicazioni. (19/3/99)

16. Effetto di un cambiamento di basi sulla matrice associata ad una
    applicazione. Matrice della composizione e della applicazione
    identica. Matrice identica. Ricerca della matrice inversa. (23/3/99)

17. Formulazione di esistenza e unicita' per soluzioni di sistemi
    lineari in termini di nucleo e immagine. Soluzione di sistemi
    quadrati triangolari superiori. (23/3/99)

18. Riduzione di un sistema ad uno triangolare inferiore. Riduzione
    a scala. Rango di una matrice. Teorema di Rouche'-Capelli. (25/3/99)

19. Criterio di indipendenza per coppie di vettori nel piano.
    Area orientata del parallelogrammo. Volume del solido determinato
    da tre vettori nello spazio. Regola di Sarrus. (25/3/99)

20. Unicita' della funzione determinante: operazioni sulle colonne,
    matrici triangolari inferiori, metodo di calcolo. (26/3/99)

21. Esistenza della funzione determinante (enunciato). Sviluppo
    lungo le righe e lungo le colonne. Invarianza per trasposizione.
    Operazioni sulle righe. (30/3/99)

22. Analisi della struttura algebrica della funzione determinante.
    Teorema di Binet. Teorema di Kramer. Formula dell'inversa di una
    matrice. (30/3/99)

23. Rango di una matrice rettangolare, teorema degli orlati, algoritmo
    di calcolo del rango, esempi. (8/4/99)

24. Sottospazi affini dello spazio ordinario, equazioni cartesiane e 
    parametriche, esistenza di equazioni. (8/4/99)

25. Equazioni cartesiane e parametriche sovrabbondanti, somma e intersezione
    di sottospazi affini, formula per la dimensione della somma. (9/4/99)

26. Equazioni cartesiane e parametriche di rette e piani nello spazio.
    Parallelismo tra rette e piani nello spazio. Trasformazioni 
    affini. (13/4/99)

27. Unita' immaginaria, numeri complessi, corrispondenza con i
    punti del piano, prodotto tra numeri complessi, inverso, struttura
    di campo. Coordinate polari nel piano, interpretazione geometrica 
    del prodotto tra numeri complessi. (13/4/99)

28. Parte reale e immaginaria, modulo, coniugio. Proprieta' elementari.
    Disuguaglianza triangolare. Richiami sulla formula di Taylor. (15/4/99)

29. Sviluppi di coseno, seno, esponenziale. Esponenziale di un numero 
    immaginario puro. Forma polare di un numero complesso. Radici ennesime
    dell'unita' e di un numero complesso. Equazioni polinomiali
    di secondo grado. Enunciato del teorema fondamentale 
    dell'algebra. (15/4/99)

30. Divisione tra polinomi, numero degli zeri di un polinomio complesso.
    Esponenziale e logaritmo (principale) di un numero complesso.
    Ortogonalita' di vettori nel piano. Prodotti scalari. (16/4/99)

31. Angolo tra due vettori. Prodotti scalari canonici sui vettori e le 
    matrici. Forme bilineari sui vettori associate a matrici. Proprieta' 
    della trasposizione di matrici. Disuguaglianze di Cauchy-Schwartz e 
    triangolari. (20/4/99)

32. Ortogonale a un insieme. Basi ortogonali e ortonormali. Normalizzazione
    di un vettore. Coordinate di un vettore rispetto ad una base 
    ortonormale. Proiezione ortogonale e sua espressione utilizzando
    una base ortonormale. (20/4/99)

33. Esistenza e completamento di basi ortonormali. Ortogonale di un
    sottospazio. Somma diretta ortogonale. (22/4/99)

34. Procedimento di ortonormalizzazione di Gram-Schmidt. Proiezione 
    ortogonale come punto critico (minimo) della distanza da un sottospazio.
    Endomorfismi autoaggiunti (simmetrici) e isometrici (ortogonali)
    rispetto ad un prodotto scalare associato ad una matrice (o rispetto
    al prodotto scalare standard).  (22/4/99)

35. Corrispondenza tra piani e rette nello spazio tridimensionale, 
    tramite ortogonalita'. Interpretazione dei passaggi tra equazioni
    cartesiane e parametriche. Prodotto wedge. Enunciato del fatto che
    tutte le isometrie di uno spazio reale con prodotto scalare sono 
    affini. (23/4/99)

36. Spazi vettoriali complessi. Esempi. Realificazione. Generalizzazione
    al caso complesso dei risultati relativi agli spazi vettoriali provati
    nel caso reale. (27/4/99)

37. Forme sesquilineari ed hermitiane, prodotti scalari hermitiani,
    aggiunta di una matrice, prodotti scalari sullo spazio complesso
    ordinario associati ad una matrice, matrici hermitiane ed unitarie. 
    Disuguaglianza di Cauchy-Schwartz, ortonormalizzazione di una 
    base. (27/4/99)

38. Problema della ricerca di forma canonica per una matrice o
    un endomorfismo. Simmetria del tensore degli sforzi. Enunciato
    della diagonalizzabilita' per matrici simmetriche. (29/4/99)

39. Autovalori, autovettori, autospazi, polinomio caratteristico.
    Criterio necessario per la diagonalizzabilita' in termini delle
    radici del polinomio caratteristico. Non sufficienza di tale criterio.
    Coniugio come controparte in termini di matrici del cambio di
    base per endomorfismi. (29/4/99)

40. Analisi del secondo e dell'ultimo coefficiente del polinomio 
    caratteristico. Criterio sufficiente per la diagonalizzabilita' in 
    termini delle radici del polinomio caratteristico. Non necessita' di 
    tale criterio. Esempio di forma canonica per una matrice 
    antisimmetrica. (30/4/99)

40bis. Esercizi su spazi vettoriali complessi. (30/4/99)

41. Molteplicita' algebrica e geometrica. Caratterizzazione degli
    endomorfismi diagonalizzabili in termini delle moltepicita'. (4/5/99)

42. Valutazione di un polinomio su una matrice o un endomorfismo.
    Polinomio minimo, polinomio minimo relativo ad un vettore.
    Polinomio minimo come minimo comune multiplo di quelli relativi
    agli elementi di una base. (4/5/99)

43. Calcolo del polinomio minimo e di quello relativo ad un vettore. 
    Minimo comune multiplo e massimo comune divisore di polinomi.
    Polinomi complessi aventi radici multiple. (6/5/99)

44. Criterio di diagonalizzabilita' che utilizza il polinomio 
    minimo. (6/5/99)

45. Matrici normali. Teorema di diagonalizzazione tramite unitarie (7/5/99)

46. Forma canonica di matrici unitarie, hermitiane, simmetriche. 
    Criterio per la verifica che una matrice simmetrica (hermitiana) 
    definisca un prodotto scalare (hermitiano). (7/5/99)

47. Seconda dimostrazione della diagonalizzabilita' delle matrici
    simmetriche. Enunciato e conseguenze in dimensione piccola della
    esistenza di forme canoniche per matrici ortogonali e 
    antisimmetriche (11/5/99)

48. Enunciato dell'esistenza della forma canonica di Jordan per
    endomorfismi aventi tutti gli autovalori nel campo. Determinazione 
    della dimensione totale dei blocchi relativi a un autovalore, e 
    del loro numero. (11/5/99)

49. Determinazione della forma canonica di Jordan. Criterio di coniugazione
    per matrici aventi autovalori nel campo. (13/5/99)

50. Completezza dell'insieme dei reali. Principio degli intervalli 
    incapsulati. Principio dell'esistenza del sup. Loro 
    equivalenza. (13/5/99)

51. Teorema di esistenza degli zeri. Successioni estratte. Teorema
    di compattezza per gli intervalli chiusi e limitati. (15/5/99)

52. Esistenza di massimo e minimo di una funzione continua su un
    compatto. Teorema di Rolle. Teorema di Lagrange. (15/5/99)