Geometria Superiore II (Carlo Petronio)
``Teoremi di confronto in geometria riemanniana''

Secondo la formula di Gauss-Bonnet, data una superficie S chiusa e
orientata, l'integrale su S della curvatura (un invariante *locale* che
dipende dalla metrica di S) determina la topologia *globale* di S. Questo
risultato ha notevoli estensioni in dimensioni piu' alte. Ad esempio: solo
un numero finito di tipi topologici di n-varieta' ammettono metriche che
soddisfano prefissate limitazioni inferiori sul volume e limitazioni
superiori sul diametro ed il valore assoluto della curvatura scalare
(teorema di Cheeger). Le relazioni tra la curvatura e la topologia sono
state oggetto di intensa ricerca per tutto questo secolo, ed il corso si
propone di presentare alcuni dei profondi risultati dimostrati. Piu'
specificamente, dopo alcuni brevi richiami della terminologia basilare
della geometria riemanniana, saranno dimostrati i teoremi di confronto
classici (tra cui quelli di Synge, Myers, Hadamard-Cartan, Bishop-Gunther,
Preissman, Klingenberg). Saranno quindi trattati argomenti piu' recenti
(come la teoria della convergenza e il teorema di Cheeger sopra
menzionato), eventualmente omettendo qualche dimostrazione.

Bibliografia:
Gallot-Hulin-Lafontaine, ``Riemannian Geometry''
Petersen, ``Riemannian Geometry''
Klingenberg, ``Riemannian Geometry''
Sakai, ``Riemannian Geometry''
Gromov-Lafontaine-Pansu, ``Structures metriques pour 
                                les varietes riemanniennes''


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Geometria Superiore II (Carlo Petronio)

Classical comparison theorems in Riemannian geometry (e.g. Synge's,
Hadamard-Cartan's, Bishop-Gunther's), with full proofs. Gromov's
convergence theory and Cheeger's finiteness theorem (possibly with details
omitted). MSC numbers (1991): 53C20, 53C23.