Elementi di Topologia Algebrica 13/14 (Petronio)


1. DEFINIZIONE DI OMOLOGIA (SIMPLICIALE)

Categorie e funtori (cenni).  Complessi di catene e loro omologia. 
Complessi simpliciali geometrici e loro omologia.  Complessi politopali, 
omologia, suddivisione e invarianza dell'omologia per suddivisione 
(cenni).  0-omologia. 1-omologia come abelianizzazione del gruppo 
fondamentale. Teorema di approssimazione simpliciale.  L'omologia come 
funtore. Proprietà di omotopia del funtore omologia.  Omologia del 
punto.

2. VARIETA'

Varietà topologiche, differenziabili e PL, con e senza bordo.  
Orientabilità.  n-omologia di una n-varietà.  Definizione PL di grado e 
sua caratterizzazione differenziabile.  Applicazioni del grado: funzioni 
da S^1 in sé, teorema fondamentale dell'algebra, immersioni da S^1 in 
R^2 e in S^2, teorema del punto fisso di Brouwer.  R^n non è omeomorfo a 
R^m per n diverso da m.  Teorema di Jordan-Schoenflies con dimostrazioni 
PL e liscia.  Hauptvermutung in dimensione 2; superfici PL e loro 
classificazione.

3. ASSIOMI DELL'OMOLOGIA

Successioni esatte ed esatte corte.  Omologia relativa.  Omotopia ed 
escissione. La successione esatta lunga in omologia. Successione esatta 
di Mayer-Vietoris.  Omologia delle sfere. Unicità dell'omologia dati gli 
assiomi.


4. ALTRE TEORIE OMOLOGICHE

Delta-complessi, complessi simpliciali astratti e loro realizzazioni. CW 
complessi.  Omologia singolare e sue proprietà.  Interpretazione 
dell'omologia relativa e dell'omomorfismo di bordo nella successione 
esatta lunga.  Omologia a coefficienti in un gruppo.  Tor(A,B) e teorema 
dei coefficienti universali per l'omologia.  Formula di Kunneth.

5. COOMOLOGIA

Coomologia di un complesso di catene.  Ext(A,B) e teorema dei 
coefficienti universali per la coomologia. Proprietà assiomatiche della 
coomologia.  Prodotto in coomologia e dualità di Poincaré.


Testi consigliati (ho seguito soprattutto il primo e in parte il secondo;
gli altri servono solo come riferimento):

Matveev - Lectures on algebraic topology

Hatcher - Algebraic topology

Spanier - Algebraic topology

Massey - A basic course in algebraic topology

Munkres - Elements of algebraic topology

Greenberg, Harper - Algebraic topology. A first course