\def\data{17/9/10} % mettere la data giusta gg/mm/aa e salvare come AL_0910_ggmmaa_testi.tex
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\textwidth=520pt        %%  dimensioni eventualmente modificabili
\oddsidemargin=-1truecm     %%  dimensioni eventualmente modificabili
\evensidemargin=-1truecm    %%  dimensioni eventualmente modificabili
\textheight=23cm        %%  dimensioni eventualmente modificabili
\topmargin=0cm          %%  dimensioni eventualmente modificabili
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%%  da qui mettere i testi degli esercizi e le risposte, con eventuali variazioni
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\def\qun{Trovare gli autovalori di $\matrdd2561$ e una base che la diagonalizza.
\\ \vspace{.7cm} \\ }
\def\run{$7,\ -4;\ \matrdu11,\ \matrdu{-5}6$}

\def\qunbis{
\\ \vspace{.7cm} \\ }
\def\runbis{ }

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\def\qdu{Quali sono gli autovalori di una proiezione associata a una somma diretta?
\\ \vspace{.7cm} \\ }
\def\rdu{$0$ e $1$}

\def\qdubis{
\\ \vspace{.7cm} \\ }
\def\rdubis{ }

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\def\qtr{Per quali $z\in\matC$ la matrice $\matrdd{iz}{z}{1/z}{-13}$ ammette
autovalori reali e una base ortonormale di $\matC^2$ che la diagonalizza?
\\ \vspace{.7cm} \\ }
\def\rtr{$z=\pm i$}

\def\qtrbis{
\\ \vspace{.7cm} \\ }
\def\rtrbis{ }

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\def\qqu{Determinare un vettore di $\matC^2$ unitario, ortogonale a
$\matrdu{1-i}{2+i}$ e con somma delle coordinate reale.
\\ \vspace{.7cm} \\ }
\def\rqu{$\frac1{\sqrt{35}}\matrdu{4-3i}{1-3i}$}

\def\qqubis{
\\ \vspace{.7cm} \\ }
\def\rqubis{ }

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\def\qci{Determinare il tipo affine della quadrica $3x^2-3y^2-z^2-2xz+4yz+x+6y-4z=3$.
\\ \vspace{.7cm} \\ }
\def\rci{Paraboloide iperbolico}

\def\qcibis{
\\ \vspace{.7cm} \\ }
\def\rcibis{ }

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\def\qsx{\soloGeom Determinare l'intersezione tra l'insieme dei punti all'infinito
della quadrica $xy-yz+z^2+6x-5y=\sqrt7$ e l'insieme $\{[29-t:1+2t:2-3t]\in\matP^2(\matR):\ t\in\matR\}$.
\\ \vspace{.7cm} \\ }
\def\rsx{$\{[30:-1:5],\ [408:-49:119]\}$}

\def\qsxbis{\soloGeom
\\ \vspace{.7cm} \\ }
\def\rsxbis{ }

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\def\qst{\soloGeom Calcolare $\int\limits_\alpha x\,e^{x^2y}(2y\diff x+x\diff y)$
con $\alpha:[0,1]\to\matR^2$ data da $\alpha(t)=(1-t^2,1-t^3)$.
\\ \vspace{.7cm} \\ }
\def\rst{$1-e$}

\def\qstbis{\soloGeom
\\ \vspace{.7cm} \\ }
\def\rstbis{ }

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\def\qot{\soloGAII Sapendo che il polinomio $6z^3-(17+14i)z^2+(1+39i)z+10(1-i)$ si annulla in
$z=2i$, trovare i suoi altri zeri.
\\ \vspace{.7cm} \\ }
\def\rot{$z=\frac52,\ z=\frac13(1+i)$}

\def\qotbis{\soloGAII
\\ \vspace{.7cm} \\ }
\def\rotbis{ }

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\def\qno{\soloGAII Data la base $\calB=(-e_1+2e_2+4e_3,\ 4e_1+e_2-e_3)$ di
$V=\{x\in\matR^3:\ 2x_1-5x_2+3x_3=0\}$, verificare che $v=e_1+e_2+e_3$ appartiene a $V$
e trovare $[v]_\calB$.
\\ \vspace{.7cm} \\ }
\def\rno{$\frac13\matrdu11$}

\def\qnobis{\soloGAII
\\ \vspace{.7cm} \\ }
\def\rnobis{ }

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\def\eun{Al variare di $k\in\matR$ considerare la matrice
$A_k=\matrtt
{k^2+k+3}   {-k-2}  0
{k^2+k+1}   {1-2k}  {1-k}
{-k^2-2}    {k+2}   {k+1}$.
\begin{itemize}
\item[(A)] (3 punti) Sapendo che per ogni $k\in\matR$ la matrice $A_k$ ha l'autovalore $1+k^2$, determinare
gli altri due autovalori in funzione di $k$.
\item[(B)] (5 punti) Discutere la diagonalizzabilit\`a di $A_k$ al variare di $k\in\matR$.
\item[(C)] (1 punto) Determinare i valori di $k$ per i quali $A_k$ non \`e iniettiva.
\item[(D)] (3 punti) Per ciascuno dei valori di $k$ del punto precedente determinare
un vettore di $\matR^3$ unitario e ortogonale all'immagine di $A_k$.
\end{itemize}
}

\def\edu{\soloGeom Considerare la curva $\alpha:[0,1]\to\matR^3$ data da $\alpha(t)=\left(2\sqrt{t^3},1-t^2,t^2+t\right)$.
\begin{itemize}
\item[(A)] (2 punti) Provare che si tratta di una curva regolare e semplice.
\item[(B)] (4 punti) Calcolare curvatura e torsione di $\alpha$ nel suo secondo estremo.
\item[(C)] (3 punti) Calcolare $\int\limits_\alpha((16(y+z)-3)$.
\item[(D)] (3 punti) Calcolare $\int\limits_\alpha(z\diff y-y\diff z)$.
\end{itemize}
}

\def\etr{\soloGAII Considerare $V=\{x\in\matR^4:\ 2x_1+3x_2=5x_3+2x_4\}$.
\begin{itemize}
\item[(A)] (3 punti) Trovare tutti i vettori di $V$ con due coordinate nulle e le altre due intere
prime tra loro, con la prima delle due positiva.
\item[(B)] (3 punti) Ordinare i vettori del punto precedente per norma crescente e, a parit\`a di norma,
per prima coordinata crescente, quindi estrarre una base $\calB$ di $V$.
\item[(C)] (3 punti) Posto
$A=\small{\left(\begin{array}{cccc}
0  &   3   &   -1   &   1   \\
-1   &   0   &   -1   &   1   \\
-1  &   1   &   0   &   1  \\
0  &   -1  &   0   &   1
\end{array}\right)}$ provare che la formula $f(v)=A\cdot v$ definisce un'applicazione lineare $f:V\to V$.
\item[(D)] (3 punti) Determinare $[f]_\calB^\calB$.
\end{itemize}
}
