\def\data{2/7/10} % mettere la data giusta gg/mm/aa e salvare come AL_0910_ggmmaa_testi.tex
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\textwidth=520pt        %%  dimensioni eventualmente modificabili
\oddsidemargin=-1truecm     %%  dimensioni eventualmente modificabili
\evensidemargin=-1truecm    %%  dimensioni eventualmente modificabili
\textheight=23cm        %%  dimensioni eventualmente modificabili
\topmargin=0cm          %%  dimensioni eventualmente modificabili
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%%  da qui mettere i testi degli esercizi e le risposte, con eventuali variazioni
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\def\qun{Esibire una base di $\matR^2$ che diagonalizza $\matrdd{26}{-36}{18}{-25}$.
\\ \vspace{1.4cm} \\ }
\def\run{$\matrdu32,\ \matrdu43$}

\def\qunbis{Esibire una base di $\matR^2$ che diagonalizza $\matrdd{23}{-84}{6}{-22}$.
\\ \vspace{1.4cm} \\ }
\def\runbis{$\matrdu41,\ \matrdu72$}

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\def\qdu{Esibire un vettore di $\matC^2$ unitario, ortogonale a $\matrdu{2-i}{1+i}$ e con
seconda componente reale negativa.
\\ \vspace{1.4cm} \\ }
\def\rdu{$\frac1{\sqrt{35}}\matrdu{1-3i}{-5}$}

\def\qdubis{Esibire un vettore di $\matC^2$ unitario, ortogonale a $\matrdu{2-i}{1+i}$ e con
prima componente reale negativa.
\\ \vspace{1.4cm} \\ }
\def\rdubis{$\frac1{\sqrt{14}}\matrdu{-2}{1+3i}$}

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\def\qtr{Determinare i punti all'infinito in $\matP^2(\matR)$ dell'insieme
$\{(t,\cos t,1-2t):\ t\in\matR\}\subset\matR^3$.
\\ \vspace{1.4cm} \\ }
\def\rtr{$[1:0:-2]$}

\def\qtrbis{Determinare i punti all'infinito in $\matP^2(\matR)$ dell'insieme
$\{(\sin t,2t,1-t):\ t\in\matR\}\subset\matR^3$.
\\ \vspace{1.4cm} \\ }
\def\rtrbis{$[0:2:-1]$}

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\def\qqu{Stabilire per quali $k\in\matR$ la conica di equazione $x^2+2xy+ky^2-4x+2y+5=0$ \`e un'ellisse.
\\ \vspace{1.4cm} \\ }
\def\rqu{$1<k<10$}

\def\qqubis{Stabilire per quali $k\in\matR$ la conica di equazione $x^2+4xy+ky^2-2x+2y+2=0$ \`e un'ellisse.
\\ \vspace{1.4cm} \\ }
\def\rqubis{$4<k<13$}

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\def\qci{Determinare il tipo affine della quadrica di equazione
$5y^2-8z^2-2xy-6xz-4yz+2x-2y=0$.
\\ \vspace{1.4cm} \\ }
\def\rci{Iperboloide a una falda}

\def\qcibis{Determinare il tipo affine della quadrica di equazione
$3y^2+10z^2+2xy+6xz-4yz-2x+2y=0$.
\\ \vspace{1.4cm} \\ }
\def\rcibis{Iperboloide a due falde}

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\def\qsx{Stabilire se\qquad $f(x,y)=(1-y)^3(1+x)^2-\cos(x+y)-2x+3y$\\ abbia un massimo o un minimo locale
nel punto $(0,0)$.
\\ \vspace{1.4cm} \\ }
\def\rsx{Nessuno dei due, il gradiente si annulla ma gli autovalori dell'hessiana sono discordi}

\def\qsxbis{Stabilire se\qquad  $f(x,y)=(1-y)^3(1+x)^2-3\cos(x+y)-2x+3y$\\ abbia un massimo o un minimo locale
nel punto $(0,0)$.
\\ \vspace{1.4cm} \\ }
\def\rsxbis{Un minimo locale: il gradiente si annulla e gli autovalori dell'hessiana sono positivi}

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\def\qst{Posto\qquad  $\omega=(kx^2y+e^x)\diff x+(x^3+\sin y)\diff y$\\ stabilire
per quali $k\in\matR$ si ha $\int\limits_\alpha\omega=0$ per ogni curva chiusa $\alpha$ in $\matR^2$.
\\ \vspace{1.4cm} \\ }
\def\rst{$k=3$}

\def\qstbis{Posto\qquad  $\omega=(y^3+\cos x)\diff x+(e^y-kxy^2)\diff y$\\ stabilire
per quali $k\in\matR$ si ha $\int\limits_\alpha\omega=0$ per ogni curva chiusa $\alpha$ in $\matR^2$.
\\ \vspace{1.4cm} \\ }
\def\rstbis{$k=-3$}

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\def\qot{\soloGAII
\\ \vspace{1.4cm} \\ }
\def\rot{ }

\def\qotbis{\soloGAII
\\ \vspace{1.4cm} \\ }
\def\rotbis{ }

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\def\qno{\soloGAII
\\ \vspace{1.4cm} \\ }
\def\rno{ }

\def\qnobis{\soloGAII
\\ \vspace{1.4cm} \\ }
\def\rnobis{ }

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\def\eun{In $\matR^3$ considerare i vettori $v_1=\matrtu23{-1}$ e $v_2=\matrtu0{-3}{5}$.
\begin{itemize}
\item[(A)] (2 punti) Ortonormalizzare $(v_1,v_2)$ a una base $(w_1,w_2)$ di $V=\text{Span}(v_1,v_2)$.
\item[(B)] (2 punti) Determinare la matrice $A$ che rappresenta la proiezione ortogonale di $\matR^3$ su $V$,
verificando che $A\cdot A=\,^{\text{t}}\!A=A$.
\item[(C)] (2 punti) Completare $(w_1,w_2)$ a una base ortonormale $M=(w_1,w_2,w_3)$ di $\matR^3$ con $\det(M)<0$.
\item[(D)] (2 punti) Calcolare $M^{-1}$.
\item[(E)] (2 punti) Provare che $M$ non \`e diagonalizzabile su $\matR$.
\item[(F)] (2 punti) Verificare che $M^{-1}\cdot\matrtt{\sqrt{\pi}}000{-17}000{1000}\cdot M$ \`e simmetrica e
calcolarne traccia e determinante.
\end{itemize}
}

\def\edu{Considerare la curva $\alpha(t)=\matrtu{t^3}{1-2t^2}{3t-t^3}$ con $t\in\matR$.
\begin{itemize}
\item[(A)] (1 punto) Provare che $\alpha$ \`e semplice
\item[(B)] (3 punti) Detta $\beta$ la restrizione di $\alpha$ a $[0,1]$ calcolare $\int\limits_\beta(z-53x)$.
\item[(C)] (3 punti) Detta $\gamma$ la restrizione di $\alpha$ a $[-1,1]$ calcolare $\int\limits_\gamma(y\diff x+z\diff y+x\diff z)$.
\item[(D)] (2 punti) Sapendo che $\sigma:\matR\to\matR$ \`e tale che $\delta(s)=\alpha(\sigma(s))$ \`e in parametro
d'arco e $\sigma(0)=1$, calcolare $\sigma'(0)$.
\item[(E)] (3 punti) Calcolare curvatura e torsione di $\alpha$ nel punto $t=1$.
\end{itemize}
}
