\def\data{1/2/10} % mettere la data giusta gg/mm/aa e salvare come AL_0910_ggmmaa_testi.tex
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\textwidth=520pt        %%  dimensioni eventualmente modificabili
\oddsidemargin=-1truecm     %%  dimensioni eventualmente modificabili
\evensidemargin=-1truecm    %%  dimensioni eventualmente modificabili
\textheight=23cm        %%  dimensioni eventualmente modificabili
\topmargin=0cm          %%  dimensioni eventualmente modificabili
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%%  da qui mettere i testi degli esercizi e le risposte, con eventuali variazioni
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\def\qun{Posto $X=\{x\in\matR^3:\ x_1+x_2=x_3\}$ considerare $f:X\to X$ data da
$f(x)=\matrtu{3x_1+x_2}{x_3-2x_1}{x_1+x_2+x_3}$ e calcolare il polinomio caratteristico di $f$.
\\ \vspace{.6cm} \\ }
\def\run{$p_f(t)=(t-2)^2$}

\def\qunbis{Posto $X=\{x\in\matR^3:\ x_1=x_2+x_3\}$ e considerare $f:X\to X$ data da
$f(x)=\matrtu{x_1-2x_3}{x_1+x_3-2x_2}{2x_2-3x_3}$ e calcolare il polinomio caratteristico di $f$.
\\ \vspace{.6cm} \\ }
\def\runbis{$p_f(t)=t^2+4t-1$}

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\def\qdu{Per quali $k$ la matrice $\matrdd{2k^2+2k+1}{k^2+2k+1}{-2k^2-3k-1}{-k^2-3k-1}$
\`e diagonalizzabile?
\\ \vspace{.6cm} \\ }
\def\rdu{$k\neq 0$}

\def\qdubis{Per quali $k$ la matrice $\matrdd{-k^2+2k+12}{k^2-k-6}{-2k^2+4k+16}{2k^2-2k-8}$
\`e diagonalizzabile?
\\ \vspace{.6cm} \\ }
\def\rdubis{$k\neq 2$}

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\def\qtr{Per quali $k\in\matR$ la matrice $\matrdd{k^2}{3k-7}{k+1}{1-k^2}$ ammette una base ortonormale di autovettori?
\\ \vspace{.6cm} \\ }
\def\rtr{$k=4$}

\def\qtrbis{Per quali $k\in\matR$ la matrice $\matrdd{1-k^2}{3k+7}{1+k}{k^2}$ ammette una base ortonormale di autovettori?
\\ \vspace{.6cm} \\ }
\def\rtrbis{$k=-3$}

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\def\qqu{Trovare tutti i vettori di $\matC^2$ unitar\^\i, ortogonali a $\matrdu{1+2i}{1-i}$ e con seconda componente
immaginaria pura.
\\ \vspace{.6cm} \\ }
\def\rqu{$\pm\frac{1}{\sqrt{35}}\matrdu{3+i}{5i}$ con $\vartheta\in\matR$}

\def\qqubis{Trovare tutti i vettori di $\matC^2$ unitar\^\i, ortogonali a $\matrdu{1+i}{1-2i}$ e con prima componente
immaginaria pura.
\\ \vspace{.6cm} \\ }
\def\rqubis{$\pm\frac{1}{\sqrt{35}}\matrdu{5i}{i-3}$ con $\vartheta\in\matR$}

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\def\qci{Determinare il tipo affine della quadrica di equazione $3x^2-8y^2+z^2+2xy+4xz-2yz-y+2z=0$.
\\ \vspace{.6cm} \\ }
\def\rci{Paraboloide iperbolico}

\def\qcibis{Determinare il tipo affine della quadrica di equazione $4x^2+2y^2+5z^2-4xy+4xz-6yz+x-3y=0$.
\\ \vspace{.6cm} \\ }
\def\rcibis{Paraboloide ellittico}

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\def\qsx{\soloGeom In $\matP^2(\matR)$ determinare l'intersezione tra l'insieme
$\{[s:2-s^2:1]:\ s\in\matR\}$ e l'insieme dei punti all'infinito della quadrica di equazione $z=x^2-y^2$.
\\ \vspace{.6cm} \\ }
\def\rsx{$\{[1:1:1],\ [-1:1:1],\ [2:-2:1],\ [-2:-2:1]\}$}

\def\qsxbis{\soloGeom In $\matP^2(\matR)$ determinare l'intersezione tra l'insieme
$\{[2s:3-s^2:1]:\ s\in\matR\}$ e l'insieme dei punti all'infinito della quadrica di equazione $z=x^2-y^2$.
\\ \vspace{.6cm} \\ }
\def\rsxbis{$\{[2:2:1],\ [-2:2:1],\ [6:-6:1],\ [-6:-6:1]\}$}

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\def\qst{\soloGeom Per quale $k$ \`e chiusa la forma
$xy(k\cos(xy)-xy\sin(xy))\diff x+x^2(\cos(xy)-xy\sin(xy))\diff y$?
\\ \vspace{.6cm} \\ }
\def\rst{$k=2$}

\def\qstbis{\soloGeom Per quale $k$ \`e chiusa la forma
$y^2(xy\cos(xy)+k\sin(xy))\diff x+xy(xy\cos(xy)+2\sin(xy))\diff y$?
\\ \vspace{.6cm} \\ }
\def\rstbis{$k=1$}

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\def\qot{\soloGAII Sapendo che $z=\frac i2$ \`e una soluzione dell'equazione
$2iz^3+(1-2i)z^2-(7+2i)z+3i-1=0$, trovare le altre.
\\ \vspace{.6cm} \\ }
\def\rot{$i-1,\ 2-i$}

\def\qotbis{\soloGAII Sapendo che $z=-\frac i2$ \`e una soluzione dell'equazione
$2iz^3+(2i-1)z^2-(7+2i)z+1-3i=0$, trovare le altre.
\\ \vspace{.6cm} \\ }
\def\rotbis{$i-2,\ 1-i$}

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\def\qno{\soloGAII Determinare le coordinate di $e_1-e_2+2e_3$ rispetto
alla base $\calB=(2e_1-3e_2,\ -e_1+e_2-e_3,\ 4e_2+7e_3)$ di $\matR^3$.
\\ \vspace{.6cm} \\ }
\def\rno{$-\matrtu491$}

\def\qnobis{\soloGAII Determinare le coordinate di $e_1-e_2+2e_3$ rispetto
alla base $\calB=(2e_1-3e_2,\ -e_1+e_2-e_3,\ 3e_1+8e_3)$ di $\matR^3$.
\\ \vspace{.6cm} \\ }
\def\rnobis{$-\matrtu3{10}1$}

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\def\eun{In $\matR^3$ considerare i vettori $v_1=\matrtu315$ e $v_2=\matrtu{-11}85$.
\begin{itemize}
\item[(A)] (3 punti) Provare che $v_1$ e $v_2$ sono ortogonali tra loro e
completare $(v_1,v_2)$ a una base ortogonale $(v_1,v_2,v_3)$ di $\matR^3$ con $v_3$ avente
prima coordinata positiva e norma $\sqrt6$.
\item[(B)] (3 punti) Posto $W=\textrm{Span}(v_1,v_2)$ determinare la matrice che rappresenta
la proiezione ortogonale su $W$.
\item[(C)] (2 punti) Al variare di $k\in\matR$ considerare l'applicazione lineare $f_k:\matR^3\to\matR^3$
tale che $f(v_1)=k^2v_1+(k+2)v_2+2v_3$, $f(v_2)=(2-k)v_2+kv_3$, $f(v_3)=v_3$ e calcolare il determinante di $f_k$.
\item[(D)] (4 punti) Determinare per quali $k$ l'applicazione $f_k$ del punto precedente \`e diagonalizzabile.
\end{itemize}
}

\def\edu{\soloGeom Considerare $\alpha:\matR\to\matR^2$ data da $\alpha(t)=(t\cos(t),t^2\sin(t))$.
\begin{itemize}
\item[(A)] (3 punti) Provare che $\alpha$ \`e una curva liscia.
\item[(B)] (3 punti) Determinare il segno della curvatura di $\alpha$ nel punto corrispondente a $t=\frac{\pi}4$.
\item[(C)] (3 punti) Calcolare la curvatura di $\alpha$ nel punto corrispondente a $t=\pi$.
\item[(D)] (3 punti) Detta $\beta$ la restrizione di $\alpha$ all'intervallo $\left[\frac{\pi}3,\frac23\pi\right]$,
calcolare $\int\limits_\beta x^3y(2y\diff x+x\diff y)$.
\end{itemize}
}

\def\etr{\soloGAII Considerare la matrice $A=\left(\begin{array}{cccc}
2   &   -3  &   1   &   2   \\
-1  &   0   &   1   &   -1  \\
1   &   -2  &   0   &   0   \\
1   &   0   &   1   &   0\end{array}\right)$ e $X=\{x\in\matR^4:\ x_1+x_2=x_3+x_4\}$.
\begin{itemize}
\item[(A)] (3 punti) Calcolare il prodotto degli autovalori di $A$.
%   -9
\item[(B)] (1 punto) Provare che $\calB=(2e_1+e_3+e_4,e_2+e_4,e_1+e_2+2e_3)$ \`e una base di $X$.
%
\item[(C)] (3 punti) Provare che ponendo $f(x)=A\cdot x$ resta definita un'applicazione lineare $f:X\to X$.
%   Se y=Ax allora y1+y2-y3-y4=-(x1+x2-x3-x4), dunque se x appartiene a X lo stesso vale per y
\item[(D)] (3 punti) Determinare $[f]_\calB^\calB$.
%   ...
\item[(E)] (2 punti) Calcolare il coefficiente di posto $(3,2)$ nell'inversa della matrice del punto precedente.
%   ...
\end{itemize}
}
