\def\data{16/9/10} % mettere la data giusta gg/mm/aa e salvare come AL_0910_ggmmaa_testi.tex
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\textwidth=520pt        %%  dimensioni eventualmente modificabili
\oddsidemargin=-1truecm     %%  dimensioni eventualmente modificabili
\evensidemargin=-1truecm    %%  dimensioni eventualmente modificabili
\textheight=23cm        %%  dimensioni eventualmente modificabili
\topmargin=0cm          %%  dimensioni eventualmente modificabili
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%%  da qui mettere i testi degli esercizi e le risposte, con eventuali variazioni
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\def\qun{Provare che $f:\matR_{\leq 2}[t]\to\matR^3$ data da
$f(p(t))=\matrtu{p(1)}{p'(-1)}{p''\left(\sqrt{\pi}\right)}$ \`e invertibile.
\\ \vspace{1.2cm} \\ }
\def\run{\`E lineare e iniettiva tra spazi della stessa dimensione}

\def\qunbis{
\\ \vspace{1.2cm} \\ }
\def\runbis{ }

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\def\qdu{Data la base $\calB=(e_1+3e_2+e_3,\ 2e_1+e_2-e_3)$ di $V=\{x\in\matR^3:\ 4x_1-3x_2+5x_3=0\}$\\
provare che $v=4e_1-3e_2-5e_3$ appartiene a $V$ e trovare $[v]_\calB$.
\\ \vspace{1.2cm} \\ }
\def\rdu{$\matrdu{-2}3$}

\def\qdubis{
\\ \vspace{1.2cm} \\ }
\def\rdubis{ }

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\def\qtr{Posto $A=\matrdd{2-i}{1+i}{1-2i}{3-i}$ calcolare $\det\left(A^{-1}\right)$.
\\ \vspace{1.2cm} \\ }
\def\rtr{$\frac1{10}(1+2i)$}

\def\qtrbis{
\\ \vspace{1.2cm} \\ }
\def\rtrbis{ }

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\def\qqu{Data $f:\matR^6\to\matR^9$ tale che $f(2e_1-7e_3)=3f(e_2-4e_6)$,\\
se $W\subset\matR^9$ e $W+\text{Im}(f)=\matR^9$, che dimensione pu\`o avere $W$?
\\ \vspace{1.2cm} \\ }
\def\rqu{Tra $4$ e $9$}

\def\qqubis{
\\ \vspace{1.2cm} \\ }
\def\rqubis{ }

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\def\qci{L'insieme delle soluzioni di un sistema lineare di $3$ equazioni in $5$
incognite\\ \`e sempre un sottospazio affine di dimensione $2$ di $\matR^5$?
\\ \vspace{1.2cm} \\ }
\def\rci{No, pu\`o essere vuoto o vere dimensione maggiore}

\def\qcibis{
\\ \vspace{1.2cm} \\ }
\def\rcibis{ }

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\def\qsx{Risolvere su $\matC$ l'equazione $2iz^2+(1-5i)z+2(2-i)=0$.
\\ \vspace{1.2cm} \\ }
\def\rsx{$z_1=-\frac12(1+i),\ z_2=3+i$}

\def\qsxbis{
\\ \vspace{1.2cm} \\ }
\def\rsxbis{ }

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\def\qst{Trovare la proiezione su $V=\{x\in\matR^3:\ 2x_1-3x_2+7x_3=0\}$ del vettore $25e_1$\\
rispetto alla decomposizione $V\oplus W=\matR^3$ con $W=\text{Span}(e_1+2e_2-3e_3)$.
\\ \vspace{1.2cm} \\ }
\def\rst{$\matrtu{27}{4}{-6}$}

\def\qstbis{\soloALnew
\\ \vspace{1.2cm} \\ }
\def\rstbis{ }

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\def\qot{\soloALold
\\ \vspace{1.2cm} \\ }
\def\rot{ }

\def\qotbis{\soloALold
\\ \vspace{1.2cm} \\ }
\def\rotbis{ }

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\def\qnv{\soloGAI
\\ \vspace{1.2cm} \\ }
\def\rnv{ }

\def\qnvbis{\soloGAI
\\ \vspace{1.2cm} \\ }
\def\rnvbis{ }

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\def\eun{In $\matR^4$ considerare i sottospaz\^\i\ $V$ e $W$ definiti dalle seguenti equazioni
$$V:\ \sistema{x_1-x_2+2x_3-3x_4=0\\ 3x_1+x_2-3x_3+2x_4=0}\qquad
W:\ \sistema{2x_1+2x_2-2x_3+3x_4=0\\ x_1-4x_2+2x_3-2x_4=0}$$
e porre $\calB=(e_1-e_2+2e_3+2e_4,\ 5e_2+e_3-e_4)$ e
$\calC=(e_2+4e_3+2e_4,\ 2e_1+2e_2+e_3-2e_4)$.
\begin{itemize}
\item[(A)] (2 punti) Provare che $\matR^4=V\oplus W$.
\item[(B)] (2 punti) Provare che $\calB$ \`e una base di $V$ e $\calC$ \`e una base di $W$.
\item[(C)] (3 punti) Dette $p$ e $q$ le proiezioni
su $V$ e su $W$ associate alla decomposizione $\matR^4=V\oplus W$ calcolare $p(19e_2)$ e $q(19e_2)$.
\item[(D)] (2 punti) Posto
$A=\small{\left(\begin{array}{cccc}
10  &   2   &   0   &   0   \\
7   &   2   &   1   &   2   \\
-8  &   2   &   2   &   11  \\
-8  &   -2  &   0   &   2
\end{array}\right)}$ provare che la formula $f(v)=A\cdot v$ definisce un'applicazione lineare $f:V\to W$.
\item[(E)] (3 punti) Determinare $[f]_\calB^\calC$.
\end{itemize}
}

\def\edu{Al variare di $k,h\in\matR$ considerare in $\matR^4$ i sottospaz\^\i\ affini
$$E_k=\matrqu{6k+1}32k+\text{Span}\left(\matrqu3{k-1}{k+1}2,\matrqu{1+2k}31k\right),$$
$$F_h:\ \sistema{-hx_1+3x_2-6x_3-(h+3)x_4=h+1\\ x_1+(2-h)x_2+(h-1)x_3+2x_4=h-1.}$$
\begin{itemize}
\item[(A)] (2 punti) Calcolare la dimensione di $E_k$ al variare di $k$.
\item[(B)] (2 punti) Calcolare la dimensione di $F_h$ al variare di $h$.
\item[(C)] (3 punti) Per $k=2$ determinare equazioni cartesiane di $E_2$.
\item[(D)] (3 punti) Per $h=-2$ determinare equazioni parametriche di $F_{(-2)}$.
\item[(E)] (2 punti) Per $k=-1$ e $h=1$ determinare $E_{(-1)}\cap F_1$.
\end{itemize}
}
