\def\data{13/1/10} % mettere la data giusta gg/mm/aa e salvare come AL_0910_ggmmaa_testi.tex
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\textwidth=520pt        %%  dimensioni eventualmente modificabili
\oddsidemargin=-1truecm     %%  dimensioni eventualmente modificabili
\evensidemargin=-1truecm    %%  dimensioni eventualmente modificabili
\textheight=23cm        %%  dimensioni eventualmente modificabili
\topmargin=0cm          %%  dimensioni eventualmente modificabili
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%%  da qui mettere i testi degli esercizi e le risposte, con eventuali variazioni
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\def\qun{Il numero $\sqrt{2}+\sqrt{7}$ \`e razionale?
\\ \vspace{.7cm} \\ }
\def\run{No. Se lo fosse lo sarebbe il suo quadrato, dunque lo sarebbe $\sqrt{14}$,
che non lo \`e per lo stesso argomento che mostra che $\sqrt2$ non \`e razionale.}

\def\qunbis{Il numero $\sqrt{3}+\sqrt{5}$ \`e razionale?
\\ \vspace{.7cm} \\ }
\def\runbis{No. Se lo fosse lo sarebbe il suo quadrato, dunque lo sarebbe $\sqrt{15}$,
che non lo \`e per lo stesso argomento che mostra che $\sqrt2$ non \`e razionale.}

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\def\qdu{Da un insieme di $13$ generatori di $\{p(t)\in\matR_{\leq 9}[t]:\ p(11)=0,\ p''(-7)=0\}$ quanti
se ne devono scartare per ottenere una base?
\\ \vspace{.7cm} \\ }
\def\rdu{5}

\def\qdubis{A un insieme di $6$ elementi linearmente indipendenti di $\{p(t)\in\matR_{\leq 10}[t]:\ p(-13)=0,\ p''(5)=0\}$ quanti
se ne devono aggiungere per ottenere una base?
\\ \vspace{.7cm} \\ }
\def\rdubis{3}

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\def\qtr{Se $f:\matC^8\to\matC^3$ \`e lineare e surgettiva e $W\subset\matC^8$ \`e un sottospazio
vettoriale di dimensione $6$, che dimensione pu\`o avere $W\cap\mathrm{Ker}(f)$?
\\ \vspace{.7cm} \\ }
\def\rtr{Tra $3$ e $5$}

\def\qtrbis{Se $f:\matC^4\to\matC^7$ \`e lineare e iniettiva e $W\subset\matC^7$ ha dimensione $5$,
che dimensione pu\`o avere $W\cap\mathrm{Im}(f)$?
\\ \vspace{.7cm} \\ }
\def\rtrbis{Tra $2$ e $4$}

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\def\qqu{Per quale $z\in\matC$ si annulla $\textrm{det}\matrtt 0i2{1-i}0{1+z}{-2i}10$?
\\ \vspace{.7cm} \\ }
\def\rqu{$z=i-2$}

\def\qqubis{Per quale $z\in\matC$ si annulla $\textrm{det}\matrtt 01{2i}{1+i}0{1+z}i{-2}0$?
\\ \vspace{.7cm} \\ }
\def\rqubis{$z=3+4i$}

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\def\qci{Risolvere $\sistema{2x-3y+5z=4\\ 3x+2y-4z=1\\ 5x-14y+24z=15.}$
\\ \vspace{.7cm} \\ }
\def\rci{$x=1+2t,\ y=1+23t,\ z=1+13t$ con $t\in\matR$}

\def\qcibis{Risolvere $\sistema{3x-2y+5z=-4\\ 2x+3y+4z=1\\ 14x-5y+24z=-15.}$
\\ \vspace{.7cm} \\ }
\def\rcibis{$x=1-23t,\ y=1-2t,\ z=13t-1$ con $t\in\matR$}

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\def\qsx{Calcolare i determinanti delle orlate della matrice $\matrdd20{-1}{-2}$ nella matrice
${{\small{\left(\begin{array}{cccc} 2  & 1 & 0  & -2 \\
                                    -3 & 2 & 1  & 0 \\
                                    -1 & 3 & -2 & 5 \end{array}\right)}}}$.
\\ \vspace{.7cm} \\ }
\def\rsx{$-21$ e $-4$}

\def\qsxbis{Calcolare i determinanti delle orlate della matrice $\matrdd20{-1}{2}$ nella matrice
${{\small{\left(\begin{array}{cccc} 2  & 1 & 0  & -2 \\
                                    -3 & 2 & 1  & 0 \\
                                    -1 & 5 & 2  & 3 \end{array}\right)}}}$.
\\ \vspace{.7cm} \\ }
\def\rsxbis{$3$ e $16$}

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\def\qst{\soloALnew
Data la decomposizione $\matR^4=W\oplus Z$ con
$W=\textrm{Span}(2e_1-e_2+e_3,e_2-e_3+e_4)$ e\\ $Z=\textrm{Span}(3e_1-e_3,2e_2-e_4)$,
calcolare la proiezione su $W$ di $e_1$.
\\ \vspace{.7cm} \\ }
\def\rst{$\frac1{12}(6e_1-2e_2+2e_3+e_4)$}

\def\qstbis{\soloALnew
Data la decomposizione $\matR^4=W\oplus Z$ con
$W=\textrm{Span}(e_1-e_2+e_3,3e_2-e_3+e_4)$ e\\ $Z=\textrm{Span}(2e_1-e_3,3e_2-e_4)$,
calcolare la proiezione su $W$ di $e_1$.
\\ \vspace{.7cm} \\ }
\def\rstbis{$\frac1{16}(6e_1-3e_2+5e_3+e_4)$}

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\def\qot{\soloALold
Esibire una base che diagonalizza la matrice $\matrdd{-4}172$.
\\ \vspace{.7cm} \\ }
\def\rot{$\matrdu17,\ \matrdu1{-1}$}

\def\qotbis{\soloALold
Esibire una base che diagonalizza la matrice $\matrdd316{-2}$.
\\ \vspace{.7cm} \\ }
\def\rotbis{$\matrdu11,\ \matrdu1{-6}$}

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\def\qnv{\soloGAI
Determinare il tipo affine della conica di equazione $x^2-3xy+2y^2+5x-7y+8=0$.
\\ \vspace{.7cm} \\ }
\def\rnv{Iperbole}

\def\qnvbis{\soloGAI
Determinare il tipo affine della conica di equazione $x^2-2xy+3y^2+7x-5y-8=0$.
\\ \vspace{.7cm} \\ }
\def\rnvbis{Ellisse}

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\def\eun{Al variare di $k,h\in\matR$ considerare in $\matR^3$ i sottospaz\^\i\ affini
$$E_k=\matrtu 1k{-1}+\mathrm{Span}\left(\matrtu{12}{6}{13-6k},\matrtu3k1\right),\qquad
F_k:\sistema{3x-2y+(1+7h)z=1\\ 3(3-4h)x+2y-8z=2-3h.}$$
\begin{itemize}
\item[(A)] (3 punti) Calcolare la dimensione di $E_k$ al variare di $k$
%   1 per k=-3/2, altrimenti 2
\item[(B)] (3 punti) Calcolare la dimensione di $F_h$ al variare di $h$.
%   2 per h=1, altrimenti 1
\item[(C)] (2 punti) Esibire equazioni cartesiane di $E_k$ al variare di $k$
%   ...
\item[(D)] (2 punti) Esibire equazioni parametriche di $F_h$ al variare di $h$
%   ...
\item[(E)] (2 punti) Determinare i valori di $k$ per i quali $E_k$ ed $F_0$ sono paralleli tra loro.
%   k=-2 e h=0.
%   (If the computations are too hard or there are many more solutions we can give the value
%   of k or that of h and ask to find the other one
\end{itemize}
}

\def\edu{Al variare di $k\in\matR$ sia $f_k:\matR^3\to\matR^3$ l'applicazione lineare associata alla matrice
$$A_k=\matrtt{2k}9{3k-9}{-k-1}{k-8}{7-2k}{3k+1}{3k-1}{3k+2}.$$
\begin{itemize}
\item[(A)] (4 punti) Verificare che esiste un unico valore $k_0$ di $k$ per il quale $f_k$ non \`e invertibile.
%   k0=0.
\item[(B)] (4 punti) Scelta una base $\calB$ dell'immagine $W$ di $f_{k_0}$ determinare la matrice $[g]_\calB^\calB$
dove $g:W\to W$ \`e data da $g(w)=f_{k_0}(w)$.
%   W={x+y+z=0}. Se B=((1,-1,0),(1,0,-1)) allora [g]=[-7 8 \\ -2 1].
\item[(C)] (4 punti) \soloALnew Detto $Z$ il nucleo di $f_{k_0}$ verificare che $\matR^3=W\oplus Z$ e determinare la proiezione
su $W$ rispetto a tale decomposizione di un generico vettore di $\matR^3$.
%   ...
\item[(D)] (4 punti) \soloALold Stabilire se $g$ sia diagonalizzabile
%   No, ha l'autovalore -3 doppio ma non ??-3 volte l'identit??
\item[(E)] (4 punti) \soloGAI Determinare l'angolo tra $W$ e il vettore $3e_1-2e_2+5e_3$.
\end{itemize}
}
