Ingegneria Civile, dell'Ambiente e del Territorio
    Algebra Lineare - Scritto del 10/6/10 - Soluzioni degli esercizi


1A) dim(X)=3; per ogni k le coordinate di v(k) e quelle di w(k) soddisfano
l'equazione

1B) Si vede direttamente che i vettori sono linearmente indipendenti per k=0.
Se k non è 0 e supponendo che i vettori sono linearmente indipendenti, si
avrebbe 1-k=1+2k, il che è una contraddizione

1C) Scrivendo v(k1) e w(k2) come colonne di una matrice, si ha
indipendenza lineare se ci sono sempre due righe cancellando le
quali si ottiene determinante non nullo. Si impone allora
l'annullamento. Cancellando seconda e quarta si ricava k2=(2k1-3)/2.
Cancellando seconda e terza e sostituendo si ricava poi k1=0 o
k1=-1/2. Per k1=0 si ha k2=-3/2 e i vettori sono linearmente
indipendenti. Per k1=-1/2 si ha invece k2=-2 e w(-2)=-v(-1/2)/2,
dunque non sono linearmente indipendenti.

1D) k diverso da 2

1E) Se x è in X, allora anche f(x) lo è

1F) [2,2,-3;1,1,0;4,6,-3]



2A) 5x-y+7z=20

2B) dim(F_k)=2 per ogni k; (1/4,1/4,0)+Span((k-1,k+3,0),(0,1+3k,k-1))

2C) Paralleli per k=2, incidenti in una retta altrimenti

2D) (-20,0,15)

2E) -9 e -1

2F) arccos(2/sqrt(42))