\def\data{1/7/10} % mettere la data giusta gg/mm/aa e salvare come AL_0910_ggmmaa_testi.tex
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\textwidth=520pt        %%  dimensioni eventualmente modificabili
\oddsidemargin=-1truecm     %%  dimensioni eventualmente modificabili
\evensidemargin=-1truecm    %%  dimensioni eventualmente modificabili
\textheight=23cm        %%  dimensioni eventualmente modificabili
\topmargin=0cm          %%  dimensioni eventualmente modificabili
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%%  da qui mettere i testi degli esercizi e le risposte, con eventuali variazioni
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\def\vettq#1#2#3#4{{\small{\left(\begin{array}{c} #1 \\
                            #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right)}}}


\def\qun{Se sono dati $11$ generatori di $Z=\{z\in\matC^9:\ 5z_1+iz_4=2iz_2-3z_9=7iz_5+4z_3\}$, quanti bisogna scartarne per ottenere una base di $Z$?
\\ \vspace{1.4cm} \\ }
\def\run{$4$}

\def\qunbis{Se sono dati $4$ vettori linearmente indipendenti in $Z=\{z\in\matC^9:\ 5z_1+iz_4=2iz_2-3z_9=7iz_5+4z_3\}$, quanti
bisogna aggiungerne per ottenere una base di $Z$?
\\ \vspace{1.4cm} \\ }
\def\runbis{$3$}

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\def\qdu{Se $f:\matR^6\to\matR^4$ \`e lineare, non nulla e non surgettiva, e $\matR^6=X\oplus\text{Ker}(f)$, che dimensione ha $X$?
\\ \vspace{1.4cm} \\ }
\def\rdu{Tra $1$ e $3$}

\def\qdubis{Se $f:\matR^4\to\matR^7$ \`e lineare, non nulla e non iniettiva, e $\matR^7=X\oplus\text{Im}(f)$,
che dimensione ha $X$?
\\ \vspace{1.4cm} \\ }
\def\rdubis{Tra $4$ e $6$}

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\def\qtr{Se $f:\matR^2\to\matR^2$ \`e lineare, $\calB=(2e_1+e_2,3e_1+2e_2)$ e $[f]_\calB^\calB=\matrdd7451$, quanto fa $f(4e_1+3e_2)$?
\\ \vspace{1.4cm} \\ }
\def\rtr{$-7e_1-5e_2$}

\def\qtrbis{Se $f:\matR^2\to\matR^2$ \`e lineare, $\calB=(e_1+2e_2,2e_1+3e_2)$ e $[f]_\calB^\calB=\matrdd2537$,
quanto fa $f(e_1+3e_2)$?
\\ \vspace{1.4cm} \\ }
\def\rtrbis{$5e_1+8e_2$}

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\def\qqu{Data $A=\matrtt31{-2}42152{-3}$, calcolare $\left(A^{-1}\right)_{23}$.
\\ \vspace{1.4cm} \\ }
\def\rqu{$\frac{11}3$}

\def\qqubis{Data $A=\matrtt31{-2}25152{-3}$, calcolare $\left(A^{-1}\right)_{23}$.
\\ \vspace{1.4cm} \\ }
\def\rqubis{$-\frac72$}

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\def\qci{In una matrice $6\times 7$, quante sono le orlate di una specificata sottomatrice $4\times 4$?
\\ \vspace{1.4cm} \\ }
\def\rci{$6$}

\def\qcibis{In una matrice $7\times 6$, quante sono le orlate di una specificata sottomatrice $3\times 3$?
\\ \vspace{1.4cm} \\ }
\def\rcibis{$12$}

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\def\qsx{Sapendo che $6z^3-(12+17i)z^2+(19i-5)z+5$ ha la radice $z=1+\frac i2$, trovare le altre radici.
\\ \vspace{1.4cm} \\ }
\def\rsx{$1+2i,\ \frac i3$}

\def\qsxbis{Sapendo che $4z^3+8(i-1)z^2+(5-6i)z-5$ ha la radice $z=1-\frac i2$, trovare le altre radici.
\\ \vspace{1.4cm} \\ }
\def\rsxbis{$1-2i,\ \frac i2$}

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\def\qst{Posto $X=\{x\in\matR^3:\ 2x_1-3x_2+4x_3=0\}$ e $Y=\text{Span}(3e_1-e_3)$
provare che $\matR^3=X\oplus Y$ e calcolare l'associata proiezione su $X$ di $e_1+e_2+e_3$.
\\ \vspace{1.4cm} \\ }
\def\rst{$\frac12\cdot\matrtu{-7}25$}

\def\qstbis{Posto $X=\{x\in\matR^3:\ 2x_1-4x_2+3x_3=0\}$ e $Y=\text{Span}(e_1+e_2+e_3)$
provare che $\matR^3=X\oplus Y$ e calcolare l'associata proiezione su $X$ di $e_1+2e_3$.
\\ \vspace{1.4cm} \\ }
\def\rstbis{$-\matrtu786$}

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\def\qot{
\\ \vspace{1.4cm} \\ }
\def\rot{ }

\def\qotbis{
\\ \vspace{1.4cm} \\ }
\def\rotbis{ }

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\def\qnv{
\\ \vspace{1.4cm} \\ }
\def\rnv{ }

\def\qnvbis{
\\ \vspace{1.4cm} \\ }
\def\rnvbis{ }

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\def\eun{Data $M\in\calM_{2\times 2}(\matR)$ porre $C(M)=\{A\in\calM_{2\times 2}(\matR):\ A\cdot M=M\cdot A\}$.
Definire inoltre\\ $f:\calM_{2\times 2}(\matR)\to\calM_{2\times 2}(\matR)$ come l'operazione
di scambio dei due coefficienti sulla prima colonna.
\begin{itemize}
\item[(A)] (3 punti) Verificare che $C(M)$ \`e un sottospazio di $\calM_{2\times 2}(\matR)$ e ha sempre dimensione
almeno $2$.
\item[(B)] (3 punti) Provare che $f$ \`e lineare e invertibile.
\item[(C)] (3 punti) Posto $X_1=C(M_1)$ e $X_2=f(C(M_2))$ con $M_1=\matrdd3101$ e $M_2=\matrdd10{-1}2$,
provare che $\calM_{2\times 2}(\matR)=X_1\oplus X_2$ e determinare l'associata proiezione su $X_1$ di $\matrdd1111$
\item[(D)] (3 punti) Verificare che $C(M)$ non ha mai dimensione $3$.
\end{itemize}}

\def\edu{In $\matR^4$ considerare i vettori
$v=\vettq 2112,\ v_1=\vettq1{-1}1{-1},\ v_2=\vettq10{-2}1,\ v_3=\vettq110{-1}$ e porre\\
$\calB=(v,v_1,v_2,v_3)$ e $E=v+\text{Span}(v_1,v_2,v_3)$
\begin{itemize}
\item[(A)] (4 punti) Determinare equazioni cartesiane per $E$.
\item[(B)] (4 punti) Verificare che $\calB$ \`e una base di $\matR^4$
ed esibire $x\in\matR^4$ avente componenti tutte intere positive e tale che
$[v]_\calB$ ha anch'esso componenti tutte intere positive.
\item[(C)] (4 punti) Determinare la posizione rispetto a $E$ di $\vettq 102{-1}+\text{Span}\vettq51{-3}{-1}$
\end{itemize}}
