Ingegneria Civile, dell'Ambiente e del Territorio
    Geometria - Scritto del 3/7/09 - Soluzioni degli esercizi

1A) c=1/sqrt(7)

1B) i+sqrt(6), i-sqrt(6)

1C) Il discriminante del polinomio caratteristico di Ak è un
polinomio di grado 2 in k con coefficiente direttore non nullo,
dunque ammette radici

1D) Scrivendo A=[a,b;c,d] bisogna imporre che |b|=|c| e
c(abar-dbar)=b(a-d).  La prima condizione comporta k=t+i(1+t) con t
reale, e sostituendo nella seconda si trova t=0


2A) La prima coordinata è crescente e la derivata non è mai nulla

2B) arcsin(sqrt(3/5))

2C) curvatura=2/5, torsione=1/5

2D) e+e^2


3A) dim(Y)=3; t+1,t^2-1,t^3+1

3B) f(p(t)) ha lo stesso grado di p(t), dunque può essere nullo solo
se p(t) è costante, ma f(1)=1

3C) Per ogni k la f manda il sottospazio dei polinomi di grado
minore o uguale di k in se stesso; per il punto precedente lo fa
iniettivamente, dunque lo fa bigettivamente, e la tesi segue

3D) Posto p(t)=a_3t^3+a_2t^2+a_1t+a_0 con -a_3+a_2-a_1+a_0=0, si ha
f(p(t))=3a_3t^3+2a_2t^2+a_1t+a_0-a_2+2a_3, dunque il suo valore
calcolato in -1 è f(p(t))(-1)=-a_3+a_2-a_1+a_0=0;
[1,0,0;0,2,0;0,0,3]