Soluzioni scritto 27/06/06.

Esercizio 1.

(A) La derivata di ((x(t)-t)^2-a)/t^2 e' uguale a
    2(x-t)x'/t^2+2((t-x)t-(x-t)^2+a)/t^3. Sostituendo a x'
    il valore richiesto dall'equazione differenziale, si ottiene
    che la derivata vale 2(a-1)/t^3, per cui a=1.

(B) Per il punto precedente (e sostituendo le condizioni iniziali),
    si ha ((x_k(t)-t)^2-a)/t^2=k^2-2k. Ricavando x_k(t), si ottiene
    x_k (t)=t+((k^2-2k)t^2+1)^(1/2) se k>1,
    x_k (t)=t-((k^2-2k)t^2+1)^(1/2) se k<1.

(C) Per (B), il limite cercato vale 1 se k>1 e -1 se k<1.

(D) Se a e' diverso da 0 e da b, il problema e' equivalente ad
    un problema di Cauchy, ed ha percio' un'unica soluzione locale.
    Se a=b, sostituendo nell'equazione differenziale si ottiene 1=0,
    assurdo. Se a=0, sostituendo nell'equazione differenziale si
    ottiene b=1 o b=-1. Inoltre, per (B) e (C), se k>1 la x_k
    si prolunga ad una soluzione con x_k (0)=1. Se k<1, la x_k
    si prolunga ad una soluzione con x_k (0)=-1.


Esercizio 2.

(A) F è una rotazione di angolo pi/4 intorno all'asse y.
    Inoltre, p appartiene a F^(-1) (V_s) se e solo se F(p) verifica
    l'equazione di V_s. Fatto il conto, risulta che F^(-1) (V_s)
    e' determinato dalle equazioni x^2+y^2=cosh^2 z, 0<=z<=s.

(B) La parametrizzazione cercata e' la seguente:
    f(t,a)=((t+cosh t cos a)/2^(1/2), cosh t sin a, (t-cosh t cos a)/2^(1/2)),
    t in [0,s], a in [0,2pi].

(C) Sfruttando la parametrizzazione in (B), si mostra, dopo un po'
    di conti, che l'area e' uguale a 2pi volte
    l'integrale di cosh^2 t su [0,s], ovvero Area (V_s)=pi(s+(sinh 2s)/2).
    Allo stesso integrale si arriva notando che Area (V_s)=Area (F^(-1)(V_s))
    (perche'?), e calcolando Area (F^(-1)(V_s)) con le usuali formule
    per le superfici di rotazione.

(D) Calcolando d(phi) ed uguagliando a omega, si ottiene che le derivate
    di a rispetto a x e z sono rispettivamente 2x e -2z. Dunque
    a(x,z)=x^2-z^2.

(E) Per Stokes, si puo' integrare phi lungo le due componenti di bordo
    di V_s. L'integrale lungo la componente su cui x+z=0 e' nullo,
    mentre l'integrale lungo l'altra componente vale 4pi s cosh^2 s.