Scritto del 16/09/06. Soluzioni.

Esercizio 1.

(A) Derivando e sostituendo si ottiene a(a-1)+3a+1=0, da cui a=-1.

(B) L'equazione e' lineare omogenea, e ne conosciamo una soluzione g(t)=1/t.
    Sfruttando il metodo dell'abbassamento dell'ordine se ne ottiene
    un'altra linearmente indipendente, che e' h(t)=(log t)/t.

(C) Se f appartiene a V, si ha f(t)=pg(t)+qh(t), con p,q numeri reali.
    Dunque tf(t)=p+q log t, per cui q=0 e p=2. In definitiva, l'unica
    funzione che verifica le richieste e' f(t)=2/t.

(D) Sia f una soluzione locale. Allora esiste un numero reale s
    (eventualmente molto piccolo) tale che la restrizione di f
    a (0,s) si estenda ad un elemento F di V. Allora, come sopra,
    F(t)=pg(t)+qh(t). Affinche' F abbia limite finito in 0, deve essere
    p=q=0, per cui a=b=0. Viceversa, la funzione identicamente nulla
    risolve il problema dato per a=b=0.


Esercizio 2.

(A) f verifica le condizioni di Cauchy-Riemann.

(B) Essendo rapporto di funzioni olomorfe, g e' meromorfa.
    Essa ha un polo dove il denominatore si annulla, ovvero in
    1 (in -1 la funzione non e' definita!). Il residuo e'
    f(1)/(-2)=-log 2.

(C) Discende da un conto, sfruttando il fatto che (log R)/R tende
    a 0 quando R tende a +infinito.

(D) Per (B) e per il Teorema dei Residui,
    integrando g(z)dz lungo il cammino chiuso formato da gamma_R
    e dal segmento verticale (percorso dall'alto verso il basso)
    che congiunge iR a -iR si ottiene -4 pi i (log 2).
    D'altronde, l'integrale lungo il segmento verticale, nel limite
    per R che tende a infinito, da' i volte l'integrale richiesto.
    Poiche' cambiare il senso di percorrenza al segmento equivale
    a cambiare il segno al valore dell'integrale, il valore richiesto
    e' 4 pi (log 2).