Scritto del 15/02/06

Esercizio 1.

(A) Un semplice calcolo mostra che il differenziale di omega_a e' nullo se e
    solo se a=1.

(B) Il gradiente della funzione che definisce S_h non si annulla su
    di essa, e per z=h,-h e' linearmente indipendente dal
    gradiente della funzione z. Il secondo fatto è ovvio.

(C) Una parametrizzazione e' data da
    f(t,s)=(cos t -s, sin t, s), t in [0,2pi], s in [-h,h].
    Un conto esplicito mostra che l'integrale cercato vale 8h pi.

(D) Si noti che C_h e S_h bordano un aperto su cui omega_1
    e' definita e chiusa. Dunque l'integrale richiesto e' uguale
    all'integrale di omega su C_h.


Esercizio 2.

(A) Facendo i conti, si verifica che v''_n (t) + 2 t v'_n (t) +2 v_n (t)
    e' uguale a e^(-t^n) (n^2 t^(2n-2)-2nt^n -n(n-1)t^(n-2) +2), che
    si annulla se e solo se n=2.

(B) Posto x(t)=f(t) e^(-t^2), e posto g(t)=f'(t), imponendo che x
    sia una soluzione si ottiene g'(t)=2tg(t), per cui si puo' porre
    f(t) uguale all'integrale tra 0 e t di e^(s^2).
    Si verifica poi che v_2 e x sono linearmente indipendenti, per cui
    danno una base di V.

(C) Ogni funzione pari ha derivata nulla in 0. Viceversa posto z(t)=y(-t)
    si vede che z risolve lo stesso problema di Cauchy di y.

(D) In 0, ogni funzione dispari vale 0. Viceversa posto z(t)=-y(-t)
    si vede che z risolve lo stesso problema di Cauchy di y.

(E) Se y e' una soluzione, allora y e' combinazione lineare di v_2 e x.
    Pertanto, basta dimostrare che v_2 e x tendono a 0 per t che
    tende a +infinito. Che v_2 tenda a 0 e' ovvio. Inoltre,
    x(t)=f(t)/(e^(t^2)). Il rapporto tra la derivata del numeratore
    e quella del denominatore tende a 0, onde la tesi.