Scritto del 09/01/06

Esercizio 1.

(A) Il gradiente della funzione che definisce sigma_n non si annulla su
    di essa, e per x^2+y^2=n^2 e' linearmente indipendente dal
    gradiente della funzione x^2+y^2. Una parametrizzazione e' data da
    f(x,y)=(x,y, (n^2-(x^2+y^2)/n^2)^(1/2)), per gli (x,y) con x^2+y^2<n,
    oppure g(t,s)=(n t cos s, n t sin s, (n^2-t^2)^(1/2)),
    t in [0,1], s in [0,2pi].

(B) Orientiamo la superficie con la normale avente ultima coordinata positiva.
    Poiche' omega e' chiusa, l'integrale richiesto e' uguale all'integrale
    di omega su D_n, orientato dalla normale con ultima coordinata positiva.
    Poiche' D_n e' simmetrico rispetto al piano x=0, l'integrale di
    x e^z cos y dxdy su D_n e' nullo. Dunque l'integrale di omega su D_n da'
    Area(D_n)=n^2 pi.

(C) Direttamente usando la parametrizzazione g data in (A).

(D) Per n che tende all'infinito, l'integrando al punto (C) tende
    uniformemente alla funzione t. Dunque il limite cercato vale pi.
    Infatti, per n che tende a piu' infinito sigma_n tende a schiacciarsi
    su un disco di raggio n.

(E) Il solido descritto e' contenuto in un cilindro che ha base un disco
    di raggio n, e che ha altezza uguale a n-(n^2-1)^(1/2).
    Tale cilindro ha volume minore di pi n, onde la tesi.


Esercizio 2.

(A) I poli sono in i,-i e k per ogni intero k. Essi sono tutti di ordine 1.
    Poiche' f(z)=cos pi z/((z+i)(z-i)sin pi z), i residui in i e in -i sono
    entrambi uguali  a -cosh pi/(2sinh pi). In k, poiche' la derivata
    di sin (pi z) e'  pi cos (pi z), il residuo vale 1/(pi (1+k^2)).

(B) E' un semplice conto.

(C) Per (B), sui lati verticali del bordo di R_n si ha |f(z)|<1/n^2,
    mentre per n abbastanza alto, sui lati orizzontali si ha (ad esempio)
    |f(z)|<2/n^2. Dunque la tesi si ottiene osservando che il bordo
    di R_n e' lungo 10n.

(D) Usando il teorema dei residui viene (1+pi cosh pi/sinh pi)/2.