Matematica III - Scritto del 8/7/2006 - Soluzioni degli esercizi

Esercizio 1.

(A) Sostituendo y_a e le sue derivate nell'equazione differenziale
    si ottiene ((a^2+a)t^3+(3a+3)t^2)e^(at)=0.

(B) Metodo della variazione delle costanti: Posto x = t^3 e^(-t) g,
    sostituendo nell'equazione differenziale
    si ottiene f'=((t-3)/t)f, dove f=g'. Dunque f(t)=t^(-3) e^t, e
    x(t) e' il prodotto di t^3 e^(-t) per l'integrale tra 1 e t
    di s^(-3) e^s.

(C) Basta verificare che l'affermazione e' vera per gli elementi
    di una base di V. Per t^3 e^(-t) e' ovvio. Inoltre g tende a
    infinito come 1/t^2 dunque anche per t^3 e^(-t) g è vero.
S
Esercizio 2.

(A) Tutti i poli di f sono della forma i(1+2k)pi, k intero,
    per cui l'unico polo nella striscia considerataS e' ipi.
    In tale polo, il residuo di f vale -e^(ia pi).

(B) Si moltiplichino numeratore e denominatore per (1-e^(-2ia pi)),
    si osservi che e^(ia pi)-e^(-ia pi)=2i sin api e che
    e^(2ia pi)+e^(-2ia pi)=2cos 2a pi= 2 - 4sin^2 a pi.

(C) Le lunghezze di gamma_2 e gamma_4 sono indipendenti da R (e uguali
    a 2pi), mentre f_a (z) tende a 0 quando z tende all'infinito.

(D) E' un semplice conto.

(E) Posto t=e^s, si ha che l'integrale di t^b/(1+t) tra 0 e infinito
    e' uguale all'integrale di e^((b+1)s)/(1+e^s) tra -infinito
    e +infinito. Per il Teorema dei residui, sfruttando i punti
    precedenti si ottiene che il valore cercato e' -pi/(sin b pi).