Matematica III - A.A. 05/06 - Argomenti delle lezioni svolte L01 (01) - 27/09/05 Limiti di successioni. Successioni di Cauchy, completezza dei reali. Liminf e limsup. L02 (02) - 27/09/05 Successioni estratte. Estrazione da successioni limitate. Spazi euclidei, insiemi aperti. E01 (03) - 27/09/05 Esercizi su sup, inf, limsup e liminf. L03 (04) - 28/09/05 Insiemi chiusi e compatti. Limiti di funzioni. Funzioni continue e uniformemente continue. Funzioni continue su compatti. L04 (05) - 28/09/05 Teorema di esistenza degli zeri. Derivata. Teoremi di Rolle e Lagrange. Sviluppo di Taylor. Derivate direzionali e parziali. Gradiente e matrice jacobiana. L05 (06) - 29/09/05 Ricerca di massimi e minimi in una e piu' variabili. Matrice hessiana. Integrale di una funzione di una variabile. Teorema fondamentale del calcolo integrale, integrali impropri, cambio di variabile. L06 (07) - 29/09/05 Integrale di una funzione di piu' variabili. Cambio di variabile, coordinate polari e sferiche, integrali impropri. L07 (08) - 30/09/05 Curve. Lunghezza e integrazione di funzioni scalari. E02 (09) - 30/09/05 Esercizi su limite e limite superiore. Funzioni continue su intervalli aperti e chiusi della retta reale. L08 (10) - 04/10/05 1-forme e loro integreale su curve orientate. Differenziale di una funzione e di una 1-forma. Orientazione di un bordo. L09 (11) - 04/10/05 Formula di Stokes per 1-forme nel piano. Teorema della divergenza. E03 (12) - 04/10/05 Jacobiano della composizione di due funzioni. Massimi e minimi locali di funzioni reali di piu' variabili. L10 (13) - 05/10/05 Forme chiuse ed esatte e loro caratterizzazione tramite integrali lungo curve. E04 (14) - 05/10/05 Esercizi sui limiti delle successioni e sulla uniforme continuita'. L11 (15) - 06/10/05 Calcolo di aree tramite integrali lungo curve. Insiemi semplicemente connessi. Definizione di superficie. E05 (16) - 06/10/05 Esercizi sulla derivazione e l'integrazione. L12 (17) - 07/10/05 Integrali di 2-forme su superfici parametrizzate, cambio di variabile. E06 (18) - 07/10/05 Integrali in piu' variabili e integrali di 1-forme sul piano. Calcolo di aree e di volumi. L13 (19) - 11/10/05 Orientazione di superfici, versore normale associato. Integrale di una 2-forma su una superficie. L14 (20) - 11/10/05 Differenziale di funzioni, 1-forme, 2-forme. Orientazione del bordo di una superficie orientata e di un volume. Formula di Stokes per bordi di superfici e per bordi di volumi. E07 (21) - 11/10/05 Esercizi su integrazione e 1-forme. L15 (22) - 13/10/05 Teoremi del rotore e della divergenza. Chiusura ed esattezze per 1- e 2-forme nello spazio. E08 (23) - 13/10/05 Curve definite da equazioni. Teorema del Dini. E09 (24) - 14/10/05 1-forme sul piano. Caratterizzazione delle 1-forme esatte sul piano meno un punto. E10 (25) - 14/10/05 Parametrizzazione di curve per lunghezza d'arco. L16 (26) - 18/10/05 Teorema del Dini in piu' dimensioni. L17 (27) - 18/10/05 Moltiplicatori di Lagrange e teorema di invertibilita' locale. E11 (28) - 18/10/05 Integrazione di 1-forme su curve. Baricentro di una curva. Superfici di rotazione. L18 (29) - 19/10/05 Equazioni differenziali. Teorema di esistenza e unicita' locale. Prolungamento della soluzione. L19 (30) - 19/10/05 Sistemi di equazioni. Equazioni del primo ordine lineari. L20 (31) - 20/10/05 Equazioni esatte e a variabili separabili. Equazioni lineari. Matrice wronskiana. E12 (32) - 20/10/05 Integrazione di funzioni, 1-forme e 2-forme. E13 (33) - 21/10/05 Calcolo di area e volume di superfici e solidi di rotazione. E14 (34) - 21/10/05 Integrale di 2-forme nello spazio. L21 (35) - 25/10/05 Riduzione dell'ordine data una soluzione. Equazioni non omogenee. Variazione delle costanti. L22 (36) - 25/10/05 Equazioni a coefficienti costanti. E15 (37) - 25/10/05 Integrali di forme e funzioni su curve e superfici. L23 (38) - 26/10/05 Metodi di studio qualitativo di equazioni differenziali. E16 (39) - 26/10/05 Esercizi su divergenza e rotore. L24 (40) - 27/10/05 Teorema di dipendenza continua dal dato iniziale. Sistemi 2x2 autonomi. E17 (41) - 27/10/05 Esercizi sul teorema del Dini. E18 (42) - 28/10/05 Orientazione di superfici nello spazio, integrale di 2-forme su superfici e teorema di Stokes. E19 (43) - 28/10/05 Esercizi sui moltiplicatori di Lagrange. L25 (44) - 02/11/05 Sistemi autonomi lineari e teorema di linearizzazione. E20 (45) - 02/11/05 Teorema del Dini e funzioni implicite. E21 (46) - 03/11/05 Equazioni a variabili separabili ed esatte. E22 (47) - 03/11/05 Equazioni lineari e studi qualitativi. E23 (48) - 04/11/05 Equazioni lineari omogenee: riduzione dell'ordine e matrice wronskiana. E24 (49) - 04/11/05 Equazioni lineari non omogenee: metodo della variazione delle costanti. E25 (50) - 08/11/05 Studi qualitativi di equazioni differenziali. E26 (51) - 08/11/05 Sistemi di equazioni differenziali. E27 (52) - 09/11/05 Studio qualitativo di una equazione differenziale. L26 (53) - 09/11/05 Equazioni alle differenze L27 (54) - 10/11/05 Serie numeriche a termini positivi. L28 (55) - 10/11/05 Serie numeriche a termini qualsiasi. Serie e successioni di funzioni. E28 (56) - 11/11/05 Studio di esistenza e unicita' locali di soluzioni di equazioni differenziali non in forma normale. E29 (57) - 11/11/05 Analisi qualitativa delle soluzioni di equazioni differenziali tramite studio del segno della derivata e teorema del confronto. L29 (58) - 15/11/05 Convergenza uniforme e sue conseguenze. L30 (59) - 15/11/05 Serie convergenti in norma. Serie di potenze. E30 (60) - 15/11/05 Equazioni alle differenze. L31 (61) - 16/11/05 Funzioni analitiche. Le somme delle serie di potenze lo sono. E31 (62) - 16/11/05 Serie numeriche. L32 (63) - 17/11/05 Funzioni di variabile complessa. Rappresentazione grafica. Funzioni a piu' valori. Serie di potenze. L33 (64) - 17/11/05 Exp, sin, cos, sinh, cosh, log. Rappresentazione di sin. E32 (65) - 18/11/05 Formule di addizione per seno e coseno iperbolico. E33 (66) - 18/11/05 Studio delle convergenza di serie di potenze. Equazioni alle differenze. L34 (67) - 22/11/05 La forma dz e la sua coniugata. Esempi di integrazione. L35 (68) - 22/11/05 Funzioni olomorfe. Equazioni di Cauchy-Riemann. Armoniche coniugate. Olomorfia delle funzioni razionali. E34 (69) - 22/11/05 Serie di funzioni. E35 (70) - 23/11/05 Successioni di funzioni. L36 (71) - 23/11/05 Significato geometrico di CR. Olomorfia delle serie di potenze. L37 (72) - 24/11/05 Differenziale di funzioni e forme in termini complessi. Chiusura di forme con coefficiente olomorfo. L38 (73) - 24/11/05 Formula di rappresentazione di Cauchy. Le olomorfe sono analitiche. L39 (74) - 29/11/05 Raggio dello sviluppo in serie di una olomorfa. Olomorfe limitate sul piano. Teorema fondamentale dell'algebra. E36 (75) - 29/11/05 Armoniche provenienti da olomorfe. E37 (76) - 29/11/05 Studio qualitativo delle soluzioni di un'equazione differenziale. E38 (77) - 30/11/05 Successioni definite per ricorrenza. Integrazione e derivazione di serie di potenze. E39 (78) - 30/11/05 Sistemi autonomi cui non si applica il teorema di linearizzazione. L40 (79) - 01/12/05 Principi di identità per funzioni olomorfe. E40 (80) - 01/12/05 Primitiva di una forma con coefficiente olomorfo. L41 (81) - 02/12/05 Serie di Laurent. Tipi di singolarità. E41 (82) - 02/12/05 Funzioni olomorfe definite da integrali. Integrali di forme su curve. L42 (83) - 06/12/05 Caratterizzazione del tipo di singolarità tramite il comportamento del modulo. L43 (84) - 06/12/05 Sfera come completamento dei complessi. Funzioni meromorfe. L44 (85) - 06/12/05 Calcolo di integrali su curve e reali impropri tramite residui. E42 (86) - 07/12/05 Serie di potenze, convergenza puntuale e uniforme. E43 (87) - 07/12/05 Primi esercizi sul Teorema dei Residui. L45 (88) - 09/12/05 Integrali impropri reali via residui, secondo metodo. Indicatore logaritmico. E44 (89) - 09/12/05 Esercizi su funzioni olomorfe. L46 (90) - 13/12/05 Coefficienti di Fourier reali e complessi. Significato dell'approssimazione. L47 (91) - 13/12/05 Limiti in norma di funzioni continue a tratti. Nucleo di Dirichlet. E45 (92) - 13/12/05 Raggio di convergenza di una serie di potenze. Integrali su curve e sui reali via residui. L48 (93) - 14/12/05 Criteri di convergenza (puntuale, uniforme, in norma integrale quadratica) della serie di Fourier. Prodotto e convoluzione. E46 (94) - 14/12/05 Integrali via residui. L49 (95) - 15/12/05 Trasformata di Fourier e sue proprieta'. L50 (96) - 15/12/05 Trasformata di Laplace e sue proprieta'. E47 (97) - 16/12/05 Calcolo di integrali reali tramite il Teorema dei Residui. E48 (98) - 16/12/05 Calcolo di serie reali tramite il Teorema dei Residui. E49 (99) - 17/12/05 Serie e trasformata di Fourier. E50 (00) - 17/12/05 Trasformate di Fourier e Laplace.