Algebra lineare.  Scritto del 27/5/06.  Soluzioni degli esercizi.


Esercizio 1

A) La somma della prima e della seconda colonna e' un multiplo della terza.
   Ne segue che rank(A_k) <3 e dunque det A_k=0.

B) p(t)=t^3-(3k+1)t^2+k(2k+1)t.

C) Gli autovalori di A_k sono 0, k, 2k+1.

D) Se k e' diverso da 0, -1/2, -1 allora A_k ha 3 autovalori distinti per cui si
   diagonalizza.  Se k=0, -1/2 l'autovalore 0 ha molteplicita' algebrica 2.
   Per k=0 anche la molteplicita' geometrica di 0 e' 2 per cui A_0 si diagonalizza.
   Per k=-1/2 la molteplicita' geometrica di 0 e' 1 per cui A_-1/2 non si diagonalizza.
   Se k=-1 l'autovalore -1 ha molteplicita' algebrica 2 e molteplicita' geometrica 1,
   per cui A_-1 non si diagonalizza.



Esercizio 2

A) V_k = (i,0,0) + Span((1+k,k,i)).

B) Il vettore (i,0,0)=(i,1,-i)-(1,1,0)+(1,0,i) appartiene ad E e
   il generatore (1+k,k,i)= k(1,1,0)+ (1,0,i) del sottospazio vettoriale
   associato a V_k appartiene al sottospazio vettoriale associato ad E.

C) V_k e' parallelo a W se e solo se i sottospazi vettoriali ad essi associati
   coincidono.  Ovvero se e solo se (1+k,k,i) e (2,1,i) sono linearmente
   dipendenti.  Imponendo tale condizione risulta k_0=1.

D) La parte lineare di V_k_0+W e' generata dai vettori
   (2,1,i) e (i,0,0)-(1,1,0)=(i-1,-1,0).
   Dunque il sottospazio ortogonale a V_k+W e definito dalle equazioni
   2z_1+z_2-iz_3=0, (i+1)z_1+z_2=0. Una soluzione particolare del sistema è
   (-1, 1+i, 1+i). Normalizzando otteniamo il vettore 1/sqrt(5)(-1,1+i,1+i).