Algebra Lineare - Scritto del 2/6/06 - Soluzioni degli esercizi


Esercizio 1

A) Si tratta di calcolare il rango della matrice che definisce f_k.
   Se k=0, -1/2 allora viene 2. Negli altri casi tale rango e' 3.

B) Se k e' diverso da 0, -1/2 il Ker di f_k e' 0. Nei casi k=0,-1/2  dim Ker f_k=1.
   In particolare il Ker f_0 e' generato da (0,1,1) mentre ker f_-1/2 e' generato da (1,2,2).

C) Osserviamo che dim Im f_1=3.
   Dunque l'ortogonale di Im f_1 ha dimensione 1. Un generatore e' il vettore (2,-2,0,1).
   Pertanto Im f_1 ha equazione cartesiana 2x-2y+w=0.

D) L'applicazione g esiste ed e' unica in quanto  f_1 e' iniettiva e R^4=<(1,0,0,0)>+Im f_1.
   In particolare se si considera la base di R^4 v_1=(1,0,0,0), v_2=f_1(1,0,0) v_3=f_1(0,1,0)
   v_4=f_1(0,0,1) risulta che g e' definita da
   g(v_1)=0, g(v_2)=(1,0,0), g(v_3)=(0,1,0), g(v_4)=(0,0,1)
   La matrice che rappresenta g rispetto alle basi canoniche e'
          0 -1/3 -1/3  1/3
          0  1/3  4/3 -1/3
          0  4/3  4/3 -1/3



Esercizio 2

A) t=-1, x+(4k-3)y-z=-1

B) Se k e' diverso da 0 e 3 i due piani si intersecano in un punto solo.
   Per k=0 i due piani coincidono. Per k=3 i due piani sono disgiunti e non paralleli.

C) E' lo spazio generato da v=(1,9,-1,-1).