Algebra Lineare - Scritto del 15/2/05 - Soluzioni

Esercizio 1

A) V ha sempre dimensione 2. W ha dimensione 1 se lambda=1, dimensione
2 altrimenti.

B) L'immagine di T, che ha dimensione r=rank(T), deve essere contenuta
nel nucleo di T, che ha dimensione 4-r, da cui la tesi.

C) Bisogna e basta che V e W abbiano intersezione nulla, il che accade
per lambda diverso da 0.


Esercizio 2

A) siano v1=(1,0,-1,0) v2=(1,i,0,0) v3=(i,-1,1,-1). Si ha che
E=v1+span(v2+2v3) e F=iv1+span(v2,v3). Dunque sono paralleli.

B) T appartiene a U se e solo se T(v1)=1, T(v2+2v3)=0. Queste sono
equazioni cartesiane di U.

C) No: dovrebbe essere T(v1)=1 e T(iv1)=1.

D) A contiene la moltiplicazione per i, che indichiamo con f0.
Inoltre A={f0+g: g(v1),g(v2+2v3) appartengono a Span(v2,v3)}
dunque A è un sottospazio affine di dimensione 2+2+4+4=12.