Algebra lineare - Scritto del 9/1/06 - Soluzioni

Esercizio 1

A)
             2  k^2-4   0    0
    [T]_B^B= 0   2      1    0
             0   0      k    0
             0   0      0    3

B) Conviene usare la matrice del punto (A).  Gli autovalori sono 2, k, 3.
Per k diverso da 2,3 le molteplicita' algebriche di 2,k 3 sono rispettivamente 2,1,1.
Per k=2 le molteplicita' algebriche di 2,3 sono rispettivamente 3,1.
Infine per k=3 le molteplicita' algebriche di 2,3 sono rispettivamente 2,2.

C) Consideriamo prima il caso k diverso da 2,3. In questo caso la molteplicita'
geometrica di 2 è 1 se k è diverso da -2 ed è 2 per k=-2. La molteplicita' geometrica di k e 3 è invece 1.
Se k=2, la molteplicita' geometrica di 2 è 2 mentre la molteplicita' geometrica di 3 è 1.
Infine per k=3 la molteplicita' geometrica di 2 è 1 mentre la molteplicita' geometrica di 3 è 2.
In definitiva T si diagonalizza solo per k=-2.


Esercizio 2

A) (1,-1,0)=1/5(3,1,2)+2/5(1,-3,-1) dunque sono paralleli, ma
(1,0,-1) non appartiene a F e dunque si ha la tesi.

B) x + y - 2z = 9 è un'equazione cartesiana per F e dunque si ha la tesi.

C) Condizione necessaria e sufficiente affinchè L_k sia parallelo a E è che
il vettore (1,-1,0) soddisfi il sitema omogeneo  associato al sistema lineare che
definisce L_k. Risolvendo si ha che tale condizione è verificata solo per k=2.

D) Usando l'espressione parametrica di un punto di E e la seconda equazione di
L_k si vede che sono sempre disgiunti.  Dunque per k diverso da 2 sono rette
sghembe, e la loro somma e' tutto lo spazio, che ha equazione 0=0, mentre
per k=2 sono rette parallele disgiunte, dunque la loro somma è un piano.
Per trovare la sua equazione si nota che

E=(1,0,-1) + Span(1,-1,0)
L=(-5,0,-7) + Span(1,-1,0)

dunque E+L=(1,0,-1)+Span((1,-1,0),(1,0,1)) che ha equazione x+y-z=2.