Algebra Lineare - Scritto del 8/7/06 - Soluzioni degli esercizi

Esercizio 1

A) L'autospazio relativo a -3 e' generato dal vettore (1,1,1)

B) Il polinomio caratteristico e' t^3-3t^2+54.

C) Dividendo il polinomio caratteristico per t+3 si ottiene il polinomio t^2-6t+18
che ha due radici complesse coniguate 3(1+i) e 3(1-i). Dunque gli autovalori complessi di A sono
-3, 3(1+i), 3(1-i).

D) Una base di autovettori e' data da (1,1,1) (autovett. relativo a -3),
(i, -(1+i), 1) (autovett. relativo a 3(1+i)) e (-i, -1+i, 1) (autovett. relativo a 3(1-i))


Esercizio 2

A) Il determinante di A_k e' -5/4k. Se k e' diverso da 0 il rango e' 4. Se k=0 il rango e' tre
(come mostra il calcolo del deteminante della sottomatrice
ottenuta cancellando la prima riga e la prima colonna).

B) Se k e' diverso da 0 Ker A_k=0. Se k=0 Ker A_k e' generato da (1, -1, 0, 1).

C) Per k diverso da 0 il sistema ha sempre soluzione. Per k=0 una soluzione esplicita e'
  (2, 0, 2,1).

D) Im A_0 ha dimensione 3. Un'equazione cartesiana per Im A_0 e' x+y-wS=0.