Algebra Lineare - Scritto del 7/2/05 - Soluzioni

Esercizio 1

A) Se k e' diverso da 0 e da -2 il rango e' 4.
Per k=0 il rango e' 2 mentre per k=-2 il rango e' 3.

B) B= (1,0,0,0,0), (0,1,0,0,0), (0,0,0,0,1), (1, 0,-2,0,0), (0,1,-1,-2,0))
   C= (0,-2,2,-2), (2,1,-1,1), (-1,-1,-1,-3), (1,0,0,0)

C) La condizione e' che f_k sia surgettiva ovvero che k sia diverso da 0,-2.

D) Se g0 appartiene a V si ha facilmente che 
V=g0+{h: Im(h) contenuto in Ker(f)}.
Poiché Ker(f) ha dimensione 1 (dato che k è diverso da 0,-2) si ha dim(V)=4.

Esercizio 2

A) Il polinomio caratteristico e'
    ((2-t)^2+k^2)((k-t)^2+4)
   e dunque gli autovalori sono
    2+ik, 2-ik, k+2i, k-2i

B) Se k e' diverso da 0,2,2i,-2i gli autovalori complessi sono 4 distinti
dunque la matrice si diagonalizza.  Per k=0 l'autovalore doppio 2 ha m.g.
doppia, dunque la matrice di diagonalizza.  Per k=2 gli autovalori doppi
2(1+i) e 2(1-i) hanno m.g. semplice, dunque la matrice non si diagonalizza.
Per k=2i e k=-2i l'autovalore doppio 0 ha m.g. doppia, dunque la matrice
si diagonalizza.  Sui reali non si diagonalizza mai perchè ha autovalori non reali.

C) e_1 + ie_2, ie_1 + e_2, (1-i)e_1 - (1+i)e_2 + 2ie_3 + 2 e_4
e il coniugato di quest'ultimo.