Scritto del 04/06/05 - Soluzioni

Esercizio 1.

(A) Il gradiente dell'equazione per S_r non si annulla su S_r, 
    ed e' linearmente indipendente dal gradiente della funzione
    z sul bordo. Una parametrizzazione positiva e' data da
    f:[0,2pi]x[-1,1] -> S_r,  
    f(a,t)=((r^2+t^2)^(1/2) cos a,(r^2+t^2)^(1/2) sin a, t).

(B) La normale relativa alla parametrizzazione al punto (A) ha
    norma (r^2+2t^2)^(1/2). Dunque l'area e' data da
    A=2^(1/2) pi r^2 ln ((2^(1/2)+(2+r^2)^(1/2))/r) +2 pi (2+r^2)^(1/2).

(C) L'integrale su S_r da' 2pi (1/3 + r^2). Gli altri due integrali
    sono nulli (sui dischi, dz=0).

(D) Il volume e' dato dall'integrale di dxdydz=d omega. Usando Stokes 
    e il punto precedente, si ottiene 2pi (1/3 + r^2).

(E) Poiche' Omega_r approssima il cilindro retto di altezza 2 con base
    un disco di raggio (1+r^2)^(1/2), i due limiti valgono 1 
    (attenzione: il limite sui volumi e' elementare, per calcolare
    quello sulle aree possono essere utili il cambio di variabile 
    t=1/r, e gli sviluppi di ln (1+t) e di (1+t)^(1/2) ).

Esercizio 2.

(A) I poli di f sono nei multipli interi di pi. Sono tutti di ordine
    1, eccetto 0, che e' di ordine 3.

(B) In 0, usando lo sviluppo di Laurent di 1/sin z si ottiene un residuo
    di 1/6. Negli altri punti, usando che sin (z-n pi)=(-1)^n sin z,
    si ottiene che Res (f,n pi)=(-1)^n / (n^2 pi^2).

(C) Facile.

(D) Per (C), il denominatore di f decresce come 1/N^2, 
    e la lunghezza dei cammini cresce come N.
    
(E) Per il teorema dei residui, la somma degli integrali su
    gamma^1_N,gamma^2_N,gamma^3_N,gamma^4_N da' 1/6 piu' il
    doppio della sommatoria da 1 a N di (-1)^j/j^2. Sia x la somma
    della serie. Passando al limite, si ottiene 1/6+2 a/pi^2 =0, 
    dove a e' la somma della serie. Dunque a=-pi^2/12.