Matematica III - Soluzioni dello scritto del 29/01/05.


Esercizio 1.

A) Basta vedere che e' crescente.  Il luogo {x'=0} e' la
   curva {t=log(x)/x, x>0}.  Nel primo quadrante la x parte sotto
   questa curva, dunque non puo' mai intersecarla.

B) F(t,x)=x-t-e^(-tx).

C) Sia b<infinito e sia t_n una successione che tende a b da sinistra 
   e tale che x(t_n)	tenda a +infinito. Allora F(t_n,x(t_n)) tenderebbe a	
   +infinito, il che e' assurdo. Cio' mostra che x e' limitata in un intorno
   di b. Poiche' x e' crescente, x ha limite quando t tende a b. Ne segue
   che anche x' ha limite in b, per cui x e' prolungabile in b. 

D) Se cosi' non fosse, esisterebbero M>0 ed  una successione t_n 
   che tende all'infinito con x(t_n)<M. F(t_n,x(t_n)) tenderebbe allora
   a -infinito, il che e' assurdo. 

E) Usando i punti precedenti si ottiene che il limite cercato e' uguale
   a (1+lim F(t,x(t))/t), che e' d'altronde uguale a 1 in quanto F(t,x(t))
   e' costante.
   

Esercizio 2.


A) Si applichi il pricipio del massimo.

B) Se f(z) fosse diverso da 0 per ogni z, il punto (A)
   applicato a 1/f darebbe |f(z)|>=R su Delta, per cui 
   si avrebbe |f(z)|=R su Delta, per cui f sarebbe 
   costante (ancora per il principio del massimo).

C) Usando le formule di derivazione per funzioni composte si ottiene:
   (f(gamma))'(t)=iR theta'(t) e^(i theta(t)),
   f'(gamma(t))=theta'(t)Re^(i(theta(t)-2(pi)t))/(2(pi)). 

D) Usando la formula per f'(gamma(t)) ottenuta al punto precedente si
   puo' calcolare esplicitamente l'integrale, e si ottiene 
   i(theta(1)-theta(0)). 

E) Ancora sfruttando le formule ottenute in (C) si ottiene che 
   l'integrale di dz/z su f(gamma) da' i(theta(1)-theta(0)). Per (D), 
   tale numero diviso per (2(pi)i)    
   da' il numero di zeri di f in Delta, che e' maggiore di 0 per (B).