Scritto del 27/06/05 - Soluzioni

Esercizio 1.

(A) Moltiplicando per il denominatore del secondo membro si ottiene 
    un'equazione esatta. F(t,x)=(1+t^2)(2x+x^2)-t^2.

(B) Risolvendo F(t,x)=costante si ottiene:
    x(t)=(2(t^2+a^2+2a)/(1+t^2))^(1/2)-1 se a>-1
    x(t)=-(2(t^2+a^2+2a)/(1+t^2))^(1/2)-1 se a<-1.

(C) Se a<-2 o a>0 si ha a^2+2a>0, per cui il termine sotto radice
    nella soluzione al punto precedente e' sempre positivo.

(D) Deve essere t^2+a^2+2a>0, per cui I_a=((-a^2-2a^)(1/2),+infinito).

(E) Le funzioni x(t)=2^(1/2) t/((1+t^2)^(1/2)) -1 e
		x(t)=-2^(1/2) t/((1+t^2)^(1/2)) -1
    sono soluzioni locali distinte.


Esercizio 2.

(A) f e' bigettiva. Inoltre, f'(z) non e' mai nullo, dunque la matrice
    jacobiana di g in senso reale e' l'inversa di quella di f, ma quest'ultima
    e' C-lineare, dunque anche la prima lo e', onde g e' olomorfa.
    g(re^(it))=r^(1/3)e^(it/3), dove t varia in (-pi/2, 3pi/2) e r>0.

(B) Basta applicare la formula per g, ricordando che
    e^(ipi/3)=1/2+i3^(1/2)/2.

(C) h ha un polo semplice in i, con residuo g(i)/2i=(1-3^(1/2)i)/4.

(D) g(z) tende a 0 per z che tende a 0, per cui il limite dell'integrale
    su gamma^2_R e' nullo. Inoltre, h(Re^(it)) decresce all'infinito come
    R^(-5/3), mentre la lunghezza di gamma^4_R cresce come R.

(E) Per il teorema dei residui, se R e' grande la somma degli integrali di
    h(z)dz su gamma^1_R,gamma^2_R,gamma^3_R,gamma^4_R da' 2pi i(1-3^(1/2)i)/4.
    Passando al limite su R e usando (B) e (D) si ottiene che l'integrale
    cercato vale 3^(1/2)pi/3.