Matematica III - Soluzioni dello scritto del 19/02/05.


Esercizio 1.

A) Il gradiente della funzione F che definisce Sigma si annulla solo in 0,
   che non appartiene a Sigma. Inoltre lo Jacobiano delle funzioni
   G(x,y,z)=(F(x,y,z),y-1), G'(x,y,z)=(F(x,y,z),y+1) ha rango due 
   sui punti di Sigma con y=1, y=-1 rispettivamente.

B) Una parametrizzazione f:[0,2(pi)]x[-1,1]-->Sigma e' data da
   f(t,s)=((1+s^2)^(1/2) cos t, s, (1+s^2)^(1/2) sin t).

C) Eseguire il calcolo.

D) dphi_a=(-2y-az)dxdy+(-ay+y)dxdz+xdydz, per cui a=-1.

E) Siano gamma1, gamma2 delle parametrizzazioni delle due componenti del
   bordo di Sigma che siano coerenti con l'orientazione di Sigma data in (B)
   (ad esempio gamma1 (t)=(2^(1/2) cos t,1,2^(1/2)sin t),
               gamma2 (t)=(2^(1/2) cos t,-1,-2^(1/2)sin t).
   L'integrale di phi_(-1) da' 4(pi) sia su gamma1 sia su gamma2.
   Per il Teorema di Stokes l'integrale richiesto vale percio' 8(pi).


Esercizio 2.

A) L'unica soluzione dell'equazione proposta che passi per zero e' la
   costante nulla. Dunque x_k e' positiva. Ne segue che anche x'_k
   e' positiva su [0,+infinito), per cui x_k e' crescente. Se si pone 
   y_k (-t)=x_k (t) si vede che y_k risolve il problema di Cauchy, 
   pertanto x_k e' pari e a_k=-b_k.

B) Si ha x'_k=t (1-1/(1+t^2 x_k))<t.

C) Essendo crescente, se x_k non tendesse a +infinito avrebbe limite finito.
   Passando al limite nell'equazione differenziale
   otteremmo anche per x'_k un limite infinito, il che e' assurdo.

D) x'_k/t=1-1/(1+t^2 x_k), che tende a 1.

E) Da (D), applicando il Teorema di De l'Hospital.
   In alternativa, per ogni epsilon esiste M>>0 tale che
   |x_k'(t)-t|<epsilon per ogni t>M. Integrando x' tra M e t, si ottiene
   allora |x_k (t)-x_k (M)- t^2/2+M^2/2|<epsilon|t-M|.
   Dividendo per t^2, passando al limite e usando l'arbitrarieta' di epsilon
   si ottiene che il limite cercato e' 1/2.