Matematica III  -  Scritto del 16/07/05  -  Soluzioni

Esercizio 1.

(A) L'equazione e' lineare, per cui V e' uno spazio vettoriale di dimensione 2.

(B) Sostituendo nell'equazione, si ottiene n=2.

(C) Sia x(t)=t^2 y(t). Calcolando x'(t), x''(t) e sostituendo nell'equazione
    si ottiene y''(t) + y'(t)=0, per cui y(t)=e^(-t). Dunque una base di
    V e' data da (t^2,t^2 e^(-t)).

(D) Data una soluzione x(t), le funzioni x(t)+kt^2 risolvono il problema
    dato per ogni k reale.

(E) Se a=b=0, la funzione x(t)=t^2 risolve il problema dato.
    D'altronde, supponiamo che x:(-s,s)->R risolva il problema.
    Per quanto dimostrato in (C), la restrizione di x a (0,s) ha la forma
    x(t)=kt^2+ht^2 e^(-t), per cui x(t) e x'(t) tendono a 0 quando
    t tende a 0, dunque a=b=0.


Esercizio 2.

(A) Il differenziale e' (a-1)x(x^2-y^2)/(x^2+y^2)2 dxdydz.

(B) Il gradiente dell'equazione che definisce Sigma_1 non si annulla su
    Sigma_1, ed e' linearmente indipendente dal gradiente di z sul bordo
    di Sigma_1. Sigma_2 si ottiene traslando Sigma_1 di 10 unita' lungo
    l'asse delle y.

(C) Una parametrizzazione di C_r e' data da f:[0,2pi]x[0,pi]-> C_r,
    f(s,t)=(r cos s, r sin s, t). Effettuando il calcolo si ottiene
    che l'integrale cercato vale -2pi^2.

(D) C_1 e Sigma_1 sono il bordo di un aperto limitato su cui omega_1 e'
    non singolare. Dunque per Stokes l'integrale di omega_1 su Sigma_1
    e' uguale all'integrale di omega_1 su C_1, che vale -2pi^2.
    (vedi punto (C)).

(E) Siano D_1 e D_2 i dischi orizzontali di raggio 1 con centro
    (0,10,0) e (0,10,pi) rispettivamente. Sigma_2, D_1 e D_2 sono il bordo
    di un aperto limitato su cui omega_1 e' non singolare. Orientando
    D_1 e D_2 con la normale diretta verso l'alto, per Stokes si ha
    che l'integrale di omega_1 su Sigma_2 e' uguale all'integrale su D_2
    meno l'integrale su D_1. Poiche' questi due integrali hanno lo stesso
    valore, l'integrale cercato e' nullo.