Matematica III - Soluzioni dello scritto del 15/01/05.


Esercizio 1.

Nel seguito indicheremo con (pi) la quantita' pigreco.

A) Il gradiente della funzione che definisce Sigma_a si annulla solo in
   (0,0,a), che non appartiene a Sigma_a. 
   Imponendo che 0 appartenga a Sigma_a si ottiene a1=1,a2=-1.

B) Calcolo.

C) 4 (pigreco)

D) La forma omega e' definita e chiusa sulla corona sferica che ha 
   come bordo S_1 e S_r. L'uguaglianza richiesta segue dall'applicazione 
   del Teorema di Stokes.

E) Se a<-1 o a>1, Sigma_a e' bordo di un dominio che non contiene lo 0, 
   per cui l'integrale di omega su Sigma_a e' uguale a 0 (Stokes).
   Se -1<a<1, invece, esiste r grande tale che la palla che ha bordo S_r 
   contenga Sigma_a. La regione dello spazio bordata da Sigma_a unione S_r 
   non contiene lo 0, per cui applicando il Teorema di Stokes otteniamo 
   che l'integrale di omega su Sigma_a e' uguale a 4(pigreco).


Esercizio 2.

Nel seguito indicheremo con (pi) la quantita' pigreco.

A) I poli di f sono 0,i,-i, e sono tutti di ordine 1.
   Il residuo in 0 e' -i, quello in i e' i(e-1)/(2e), quello in -i e' i(e-1)/2.

B) Per R grande, su gamma4 si ha |f(z)|<2/R^2, mentre l'arco
   parametrizzato da gamma4 ha lunghezza R(pi). 

C) Se f(z)=a/z+h(z), dove h e' olomorfa, allora l'integrale
   di h(z)dz su gamma2 tende a 0. L'integrazione esplicita	
   di (a/z)dz da' -i(pi)a. 

D) La continuita' e' dovuta al fatto che (1-cos x)/x^2 ha limite 
   (uguale a 1/2) in 0. L'integrabilita' e' dovuta al fatto che
   |g(x)|=g(x)<2/(x^2), che e' integrabile all'infinito.

E) L'integrale di f(z)dz sul cammino dato dall'unione dei cammini gamma1,
   gamma2,gamma3,gamma4 e' dato (per R grande) da 2(pi)i per il residuo
   di f in i, ossia da (pi)(1-e)/e. Passando al limite su R, l'integrale 
   su gamma2 tende a -(pi)i(-i)=-pi, mentre quello su gamma4 tende a 0.
   Infine la somma degli integrali di f(z)dz su gamma1 e gamma3 tende	
   all'integrale reale richiesto, che pertanto vale (pi)(1-e)/e+(pi)=(pi)/e.