Matematica III.  Scritto del 12/09/05.  Soluzioni.

Nota: nelle soluzioni di entrambi gli esercizi, PI=pigreco.

Esercizio 1.

(A) Per t>=0 si ha -t^2 <= x' <= t^2(x^2-1). La prima disuguaglianza
    comporta che x non scoppia verso -infinito per tempi finiti.  La
    seconda comporta che x <= y dove y'=t^2(y^2-1), y(0)=1, cioe' y=1,
    e la conclusione segue subito.

(B) Si nota che x_{-k}(t)=-x_k(t) e si usa il punto (A).

(C) Poiche' x <= 1 ci sono tre casi: (i) lim x = -infinito;
    (ii) x e' monotona (crescente o decrescnete) per t grande
    e ha limite finito; (iii) esiste una successione t_n
    di massimi per x tale che t_n tende a +infinito
    e x(t_n) e' limitata.  Nel caso (ii) si ha che x'
    tende a 0 mentre x^2 sin^2(t)-t^2 tende a -infinito.  Nel caso
    (iii) si ha x'(t_n)=0 mentre x(t_n)^2sin^2(t_n)-t_n^2 tende
    a -infinito.  Dunque (ii) e (iii) sono assurdi.

(D) Se x esiste su [0,PI/4], essendo x' >= -t^2, si ha x(PI/4) >= k-PI/12.
    Su [PI/4,PI/2] si ha sin(t) >= 1/2, dunque x' >= x^2/2-PI^2/4,
    percio' x >= y dove y'=y^2/2-PI^2/4 e y(PI/4)=k-PI/12.
    Questa equazione e' a variabili separabili, e per k grande
    la sua soluzione scoppia prima di PI/2.


Esercizio 2.

(A) cosh z=0 se e solo se exp (2z)=-1 se e solo se z=z_k=i(PI/2+kPI), k intero.
    f ha in z_k un polo semplice e
    Res(f,z_k)=exp(iaz_k)/sinh z_k=(-1)^(k+1) i exp(-aPI/2-akPI).

(B) cosh (p+iq)=cosh p cos q+i sinh p sin q, da cui,
    usando che cosh(p) >= sinh(p), la prima conclusione.
    Si ha allora |f(gamma_R^2 (t))|<=exp (aPI)/sinh R, per cui l'integrale
    su gamma_R^2 e' minore di 2PI exp(aPI)/sinh R, che tende a 0 quando R
    tende a +infinito.  La stessa cosa vale per l'integrale su gamma_R^4.

(C) Basta eseguire esplicitamente il conto.

(D) Per il Teorema dei Residui, la somma degli integrali di f(z)dz su gamma_R^1,
    gamma_R^2,gamma_R^3 e gamma_R^4 da' 2PI i (Res(f,z_0)+Res(f,z_(-1))).
    Passando al limite su R e usando (A), (B) e (C) si ottiene che il valore
    dell'integrale cercato e' PI/(cosh(aPI/2)).