MATEMATICA III - A.A. 04/05 - Argomenti delle lezioni svolte L01 (01) - 28/09/04 Successioni e loro limiti. Completezza dei reali. Estremo superiore, limite superiore. L02 (02) - 29/09/04 Successioni estratte. Estrazione da una successione limitata. Limiti di funzioni. Funzioni continue e uniformemente continue. Esistenza del massimo. Esistenza di uno zero. L03 (03) - 29/09/04 Funzioni derivabili. Teoremi di Rolle e Lagrange. Approssimazione di Taylor. Derivata direzionale. Gradiente, matrice jacobiana. L04 (04) - 30/09/04 Matrice hessiana, sviluppo di Taylor al secondo ordine. Ricerca di massimi e minimi. Integrale di una funzione di una variabile. Integrali impropri. E01 (05) - 30/09/04 Esercizi sulla definizione di limite, sui limiti di successioni, sulle successioni estratte. L05 (06) - 01/10/04 Integrali multipli. Integrazione successiva. Cambio di variabile in una e piu' dimensioni. Integrali multipli impropri. E02 (07) - 01/10/04 Derivazione di funzioni composte, limiti di successioni, massimi e minimi locali. L06 (08) - 01/10/04 Curve. Lunghezza. Integrazione di funzioni. Cambio di parametrizzazione. 1-forme e loro integrale. Cambio di parametrizzazione. Differenziale di una funzione. E03 (09) - 05/10/04 Jacobiano di funzioni composte. Studio dell'hessiano di una funzione da R^2 in R. E04 (10) - 06/10/04 Derivazione sotto il segno di integrale. Limiti su successioni. Cambio di variabile negli integrali multipli. L07 (11) - 06/10/04 Integrazione del differenziale di una funzione. Formula di Stokes per aperti del piano. L08 (12) - 07/10/04 Teorema della divergenza. Curve e 1-forme in n dimensioni. Forme chiuse ed esatte su aperti del piano. Una forma chiusa non esatta. E05 (13) - 07/10/04 Volume dell'ellissoide con sezione circolare. Integrazione di funzioni definite su domini con bordo in R^2. L09 (14) - 08/10/04 Caratterizzazione delle forme chiuse ed esatte tramite l'integrazione lungo curve. Insiemi semplicemente connessi. L10 (15) - 08/10/04 Superfici. Parametrizzazioni locali. Area e integrale di una funzione. Invarianza per riparametrizzazione. 2-forme e loro integrale su superfici parametrizzate. Orientazione di superfici. Superfici non orientabili. E06 (16) - 08/10/04 Integrazione di funzioni in una variabile. Disuguaglianze sugli integrali E07 (17) - 08/10/04 Parametrizzazione di curve per lunghezza d'arco. Calcolo di integrali di 1-forme su curve. Esercizi sul Teorema di Stokes. E08 (18) - 12/10/04 Dimostrazione dell'esistenza del parametro d'arco per curve regolari. Calcolo esplicito su esempi. L11 (19) - 13/10/04 Insiemi connessi. Orientazione tramite vettore normale. Integrale di una 2-forma su una superficie orientata. Bordo orientato di un aperto e di una superficie orientata. L12 (20) - 13/10/04 Differenziale di una 1-forma e di una 2-forma. Formule di Stokes per aperti e per superfici orientate. Divergenza. L13 (21) - 14/10/04 Rotore. 1-forme e 2-forme chiuse ed esatte nello spazio. E09 (22) - 14/10/04 Orientazione ed integrazione di due forme su superfici in nello spazio. Teorema di Stokes per superfici nello spazio. L14 (23) - 15/10/04 Curve come grafici locali. Teorema del Dini per funzioni scalari. L15 (24) - 15/10/04 Curve nello spazio come intersezione di superfici. Teorema del Dini per curve nello spazio e nel caso piu' generale. E10 (25) - 15/10/04 Curve e superfici definite da equazioni. Integrazione di funzioni e forme. E11 (26) - 15/10/04 Area di una supericie di rotazione nello spazio. Volume di un solido di rotazione nello spazio. L16 (27) - 20/10/04 Teorema di invertibilita' locale. Relazioni con quello del Dini. Moltiplicatori di Lagrange. E12 (28) - 20/10/04 Integrazioni di forme e funzioni su curve e superfici. L17 (29) - 21/10/04 Equazioni differenziali, problemi di Cauchy, teorema di esistenza e unicita' locale. Prolungamento massimale delle soluzioni. Sistemi, riduzione al primo ordine. E13 (30) - 21/10/04 Baricentro di una curva. Formula di Guldino. Area di un settore di sfera, equazione di un toro. Integrazione di forme su curve. E14 (31) - 26/10/04 Caratterizzazione delle 1-forme esatte sul piano meno un punto. L18 (32) - 27/10/04 Equazioni lineari del primo ordine, esatte, a variabili separabili. L19 (33) - 27/10/04 Equazioni lineari omogenee di ordine k. Spazio delle soluzioni, matrice wronskiana. Riduzione dell'ordine, sostituzione. L20 (34) - 28/10/04 Equazioni non omogenee: metodo della variazione delle costanti. Equazioni a coefficienti costanti, polinomio associato, base delle soluzioni. E15 (35) - 28/10/04 Superfici, teorema del Dini, estremi vincolati. E16 (36) - 29/10/04 Estremi vincolati. Equazione di una molla smorzata. L21 (37) - 29/10/04 Dipendenza continua dai dati iniziali. Teorema del confronto. Sistemi 2x2 autonomi. Analisi dei sistemi lineari con autovalori reali e distinti. E17 (38) - 29/10/04 Equazioni differenziali esatte, a variabili separabili, lineari. E18 (39) - 29/10/04 Integrazione di 2-forme su superfici nello spazio. Una 2-forma chiusa non esatta su R^3 meno un punto E19 (40) - 02/11/04 Gradiente di funzioni reali definite su R^3 e definizione di superfici come luogo di zeri. Uso del Teorema di Stokes per l'integrazione di 2-forme su superfici. L22 (41) - 03/11/04 Sistemi autonomi lineari non diagonalizzabili sui reali. Teorema di linearizzazione. Equazioni alle differenze. Discretizzazione di una equazione differenziale. E20 (42) - 03/11/04 Alcuni sistemi di equazioni differenziali. L23 (43) - 04/11/04 Equazioni alle differenze. Inversione del tempo. Caso lineare. Analogo della matrice wronskiana. Coefficienti costanti. E21 (44) - 04/11/04 Studio qualitativo di equazioni differenziali. L24 (45) - 05/11/04 Serie numeriche. Criteri di convergenza per le serie a termini positivi. L25 (46) - 05/11/04 Successioni e serie di funzioni. Convergenza puntuale. Discontinuitą del limite di continue. Convergenza uniforme. E22 (47) - 05/11/04 Studio qualitativo di equazioni differenziali. E23 (48) - 05/11/04 Esercizi sui moltiplicatori di Lagrange e sulle equazioni lineari a coefficienti non costanti. L26 (49) - 10/11/04 Comportamento di continuita', integrazione e derivazione rispetto alla convergenza uniforme. E24 (50) - 10/11/04 Studio qualitativo di equazioni differenziali. L27 (51) - 11/11/04 Serie di potenze. Raggio di convergenza. Comportamento agli estremi dell'intervallo di convergenza. E25 (52) - 11/11/04 Equazioni alle differenze. E26 (53) - 12/11/04 Esercizi su equazioni differenziali lineari non omogenee e su equazioni esatte. L28 (54) - 12/11/04 Metodi di calcolo del raggio di convergenza. Una serie la cui somma e' log(2). Funzioni analitiche e non. Ricerca di soluzioni analitiche di equazioni differenziali. L29 (55) - 12/11/04 Funzioni di variabile complessa. Scrittura reale. Descrizioni grafiche. Funzioni a piu' valori, punti di ramificazione. E27 (56) - 12/11/04 Serie numeriche. E28 (57) - 16/11/04 Studio qualitativo delle soluzioni di un'equazione differenziale esatta. L30 (58) - 17/11/04 Polinomi e funzioni razionali. Serie di potenze. Esponenziale, seno e coseno. Funzioni iperboliche. Scrittura di seno e coseno in termini reali. E29 (59) - 17/11/04 Successioni e serie di funzioni. L31 (60) - 18/11/04 Rappresentazioni grafiche della funzione coseno e della sua inversa. L32 (61) - 18/11/04 Forme complesse e loro integrazione. Derivazione complessa, funzioni olomorfe, equazioni di Cauchy-Riemann. L33 (62) - 19/11/04 Sufficienza delle equazioni di Cauchy-Riemann per l'olomorfia. Armoniche coniugate. Olomorfia dei polinomi e delle serie di potenze. Regole di derivazione. E30 (63) - 19/11/04 Esercizi sul teorema del confronto e sullo studio qualitativo di equazioni lineari non omogenee. L34 (64) - 19/11/04 Operatori di derivazione complessa. Differenziazione di forme complesse. Teorema di Cauchy-Goursat e sue conseguenze. E31 (65) - 19/11/04 Successioni e serie di funzioni. E32 (66) - 23/11/04 Studio qualitativo delle soluzioni di un'equazione esatta. Esercizi su successioni definite per ricorrenza. L35 (67) - 24/11/04 Formula di rappresentazione di Cauchy. Le funzioni olomorfe sono analitiche. E33 (68) - 24/11/04 Serie di funzioni e di potenze. L36 (69) - 25/11/04 Disuguaglianze di Cauchy. Funzioni olomorfe e limitate sul piano. Teorema fondamentale dell'algebra. L37 (70) - 25/11/04 Principi di identita' per funzioni olomorfe. Ordine di uno zero. L38 (71) - 26/11/04 Singolarita' isolate. Sviluppo di Laurent. Esempi. E34 (72) - 26/11/04 Esercizi su convergenza e divergenza di serie numeriche. Esercizi su integrazione e derivazione per serie di potenze reali: calcolo esplicito della somma di alcune serie di potenze. L39 (73) - 26/11/04 Tipi di singolarita'. Teoremi di estensione. Modulo di una funzione vicino a una singolarita'. E35 (74) - 26/11/04 Serie di potenze e funzioni di variabile complessa. E36 (75) - 01/12/04 Serie di potenze complesse. E37 (76) - 01/12/04 Primitive di funzioni olomorfe, logaritmo complesso. L40 (77) - 02/12/04 Aggiunta del punto infinito al piano complesso. La sfera. Funzioni meromorfe. L41 (78) - 02/12/04 Calcolo di sviluppi di Laurent e residui. L42 (79) - 03/12/04 Calcolo di integrali (reali) tramite la teoria dei residui. E38 (80) - 03/12/04 Funzioni di variabile complessa. L43 (81) - 03/12/04 Ancora sugli integrali tramite i residui. Interpretazione geometrica delle equazioni di Cauchy-Riemann. Principio del massimo. E39 (82) - 03/12/04 Serie di potenze complesse, serie di Laurent, funzioni olomorfe. E40 (83) - 07/12/04 Calcolo dell'indice di curve a valori in C. Integrali di 1-forme complesse. Calcolo di integrali reali tramite l'integrazione di 1-forme complesse. L44 (84) - 09/12/04 Integrazione di quozienti di polinomi. Teorema dell'indicatore logaritmico. L45 (85) - 09/12/04 Prodotti scalari su spazi complessi. Proiezioni ortogonali. Successioni a quadrato sommabile. Funzioni periodiche. I coefficienti di Fourier. L46 (86) - 10/12/04 Prodotto scalare tra funzioni. Completezza delle successioni a quadrato sommabile. Corrispondenza tra funzioni e successioni. E41 (87) - 10/12/04 Un esempio di non applicabilita' del teorema di linearizzazione per sistemi autonomi. Calcolo di integrali reali tramite il teorema dei residui. L47 (88) - 10/12/04 Funzione caratteristica dei razionali come limite puntuale di funzioni a scala. Versione reale dei coefficienti di Fourier. E42 (89) - 10/12/04 Calcolo di integrali tramite la teoria dei residui. E43 (90) - 14/12/04 Esercizi sulle funzioni di variabile complessa. L48 (91) - 15/12/04 Nucleo di Dirichlet. Criteri di convergenza della serie di Fourier. L49 (92) - 15/12/04 Derivazione e integrazione della serie di Fourier. Rapporto tra prodotto e convoluzione. Fenomeno di Gibbs. Esempi di calcolo di coefficienti. E44 (93) - 15/12/04 Esercizi sulla serie di Fourier L50 (94) - 16/12/04 Trasformata di Fourier, inversa, proprieta'. L51 (95) - 16/12/04 Trasformata di Laplace, inversa, proprieta'. Trasformate di Mellin e Zeta. E45 (96) - 16/12/04 Esercizi sulle trasformate di Fourier e Laplace E46 (97) - 17/12/04 Applicazioni della serie di Fourier e delle trasformate ad equazioni differenziali alle derivate parziali. E47 (98) - 17/12/04 Esercizi sulla trasformata di Fourier. E48 (99) - 17/12/04 Esercizi sulla serie di Fourier. E49(100) - 17/12/04 Esercizi sulle trasformate di Fourier e Laplace.