Scritto del 19/02/2005. Soluzioni degli esercizi.


Esercizio 1.

(A) rank(Az) =  2 se z=1
		4 altrimenti
    rank(Bz) =	1 se z=2
		2 altrimenti
    rank(Cz) =  2 se z=0 o z=1
		3 altrimenti

(B) Calcolando il polinomio caratteristico abbiamo che gli autovalori
    di A sono z-1, 1-z, 1. 
    
    Se z e' diverso da 0,1,2 questi valori sono distinti, e si ha m.a.(z-1)=2, 
    m.a.(1-z)=1, m.a.(1)=1.  Dal calcolo di rank(Bz) segue che m.g.(z-1)=2, 
    dunque Az si diagonalizza.

    Se z=0 si ha m.a.(-1)=2, m.a.(1)=2 e dal calcolo di rank(Bz) e rank(Cz)
    segue che m.g.(-1)=2, m.g.(1)=2, dunque A0 si diagonalizza.

    Se z=1 si ha m.a.(0)=3 e m.a.(1)=1, e dal calcolo di rank(A1) segue
    che m.g.(0)=2, dunque A1 non si diagonalizza.

    Se z=2 si ha m.a.(1)=3, m.a.(-1)=1 e dal calcolo di rank(Bz) segue
    che m.g.(1)=3, dunque A2 si diagonalizza.

(C) Non serve trovare esplicitamente la base.  Le matrici sono tutte 
    diagonali, con elementi sulla diagonale rispettivamente: 
    -1,-1,1,1	0,0,-2,-2	2,2,0,0
    
(D) Per z reale diverso da 1.



Esercizio 2.

(A) (1,1,-1), (3,-2,0), (0,2,7)

(B) (0,2,1), (91,-3,13)/41

(C) Et ha sempre dimensione 1. Bisogna trovare il rango di At e 
    far vedere che Et e' non vuoto.  Ft ha sempre dimensione 2.

(D) Et e' (2,1,0)+Span((1,1,-1)), 
    Ft e' qt+Span((2t+1,1-3t,0),(0,2t,6+t))
    Sono paralleli se t = 0 e se t = -32/9.
    Questi sono anche tutti i casi in cui l'intersezione e' vuota.

(E) Et + Ft ha sempre dimensione 3.
    L'intersezione e' un punto tranne nei due casi sopra in cui e' 
    vuota.