Scritto del 15/01/2005. Soluzioni degli esercizi.


Esercizio 1.

(A) Per k=-1, Pk e' una retta, altrimenti i due vettori nello span 
    sono indipendenti, quindi e' un piano.
    Per k=0, Rk e' vuoto, altrimenti e' una retta. 

(B) Per k=-1, Pk = (1,-1,2) + span(0,2,0), le equazioni sono:
    x=1, z=2.
    Altrimenti il prodotto vettoriale dei generatori e' (k+1)(2k,k+1,0), 
    quindi l'equazione dello spazio vettoriale associato a Pk e' 
    2kx+(k+1)y=0, quindi l'equazione di Lk e'
    2kx+(k+1)y = 2k 1 + (k+1) (-1) = k-1.
    Per k=0, Rk = {x=1}, quindi e' (1,0,0) + span((0,1,0),(0,0,1)).
    Altrimenti un generatore dello spazio vettoriale associato a 
    Rk e' dato dal prodotto vettoriale 
    (3-k,k,0)^(-k,0,-k) = k (-k,3-k,-k).
    Basta poi sommare un elemento di Rk, ad esempio (1/k)(0,3,-4).

(C) Intersezione:
    Per k diverso da -1, usando le equazioni cartesiane, l'intersezione
    e' data da un sistema del tipo Ax=b, dove b = (k-1, 3, 4) ed A
    e' la matrice
	2k	k+1	0
	2-k	k+1	0
	-k-1	0	-k-1
    Il determinante e' -(k+1)(k+1)(3k-2), quindi per k diverso da 
    2/3, c'e' un'unica soluzione, l'intersezione ha dimensione 0.
    Per k = 2/3 non ci sono soluzioni, l'intersezione e' vuota.
    Per k = -1 sono uno contenuto nell'altro, l'intersezione ha 
    dimensione 1.
    Somma:
    Per k=-1 viene 2, per tutti gli altri valori viene 3.

(D) k=-1 e k=2/3

(E) Per k = -1 no.
    Altrimenti l'ortogonale allo spazio vettoriale associato a Lk e'
    span(2k,k+1.0). Mettendo questo vettore nelle equazioni dello 
    spazio vettoriale associato alla retta si vede che non ci sono 
    soluzioni.   
    
Esercizio 2.

(A) 2, |alpha|^2 +1, alpha^2. 

(B) Gli autovalori sono distinti, tranne quando |alpha|=1 o 
    alpha = (+ o -) rad(2). Per discutere quest'ultimo caso basta 
    calcolare la molteplicita' geometrica del'autovalore 2, 
    calcolando il rango della matrice 2 Id - A.  Tale molteplicità
    è 1 in entrambi i casi, dunque f non è diagonalizzabile.
    
(C) Bisogna vedere quando uno degli autovalori
    e' uguale a alpha^2 (1-|alpha|^2) +2. Questo 
    accade per alpha = 0, |alpha| = 1, alpha = (+ o -)i, 
    alpha = (+ o -) rad_quarta(2). 
    Scegliendo alpha = 0, basta prendere v = (0,0,1)

(D) Tutti i termini sono sempre reali, tranne i alpha e alpha^2+1. 
    Occorre quindi che alpha sia immaginario puro.
    
(E) Stiamo chiedendo se la matrice e' diagonalizzabile in senso reale.
    Notiamo che gli autovalori sono reali, dunque la diagonalizzabilità
    in senso reale equivale a quella in senso complesso.  Da sopra segue
    che f_alpha e' diagonalizzabile tranne che per alpha = (+ o -)i 
    (sempre con il vincolo di alpha immaginario puro).  Per alpha = (+ o -)i 
    calcolando la molteplicita' geometrica del'autovalore 2, si trova che 
    f_alpha non e' diagonalizzabile.