Algebra Lineare.  Scritto del 12/9/2005.  Soluzioni degli esercizi.


Esercizio 1.

(A) Scrivendo gli elementi di V come matrici  A = a1  a2 e calcolando
                                                  a3  a4
    esplicitamente viene la stessa espressione del prodotto scalare
    hermitiano canonico di C^4.

(B) Basta notare che l'insieme di vettori A1-I2, A2-I2, A3-I2 e' dipendente
    e che togliendo un vettore l'insieme diventa indipendente.

(C) Siccome P ha dimensione 2, l'applicazione dovra' avere rango 2, quindi
    scegliamo W=C^2. Ora  (A1-I2, A2-I2) sono una base del sottospazio associato
    a P, che completiamo ad una base (A1-I2, A2-I2, v3, v4) di V, ad esempio con
    v3 = 0 0   v4 = 0 0
         1 0        0 1
    Basta ora definire f sulla base, per esempio f(A1-I2)=(0,0), f(A2-I2)=(0,0),
    f(v3)=(1,0), f(v4)=(0,1).

(D) Applicando il procedimento di Gram-Schmidt alla base (A1-I2, A2-I2) si ottiene
    w1 = (1/sqrt(5))(A1-I2), w2 = (1/sqrt(30)) -2  1
                                               -5  0.

(E) Si puo' prendere una base ortonormale dello spazio associato a P, ad esempio
    (w1,w2) di sopra, completarla ad una base di V (ad esempio con (w1,w2,v3,v4),
    v3 e v4 come sopra), applicare il procedimento di Gram-Schmidt ottenendo una
    base (w1,w2,w3,w4) ortonormale di V. Ora Q = I2 + Span(w3,w4).


Esercizio 2.

(A+B) L'immagine di A e' Span((3,5,-1)), che è contenuta in V.
    Dunque è anche l'immagine di f.

(C) f ha rango 1, quindi non e' invertibile, perche' V ha dimensione 2.

(D) Ker(f) e' l'intersezione di Ker(A) con V, quindi ha equazioni sono
    -x+y-z=0, e 2x-y+z=0, perciò è Span((0,1,1))

(E) Ad esempio B=((1,2,0),(0,1,1)), [f]=   3  0
                                          -1  0

(F) Sì: ha autovalori distinti 0 e 3.