Algebra lineare.  Scritto del 4/6/2005.  Soluzioni degli esercizi.


Esercizio 1.

(A) Forma parametrica:
    Gt = B + span(A-B, Ct-B) = (3,-1,2) + span((-1,1,-1),(-2,0,t-2)).
    Forma cartesiana: Gt è sempre un piano, quindi basta una equazione.
    a x + b y + c z = d
    dove (a,b,c) = (A-B) ^ (Ct-B) = (t-2,t,2)
    e d = 2a + 0b + c = 2t-2.
    Quindi l'equazione è
    (t-2) x + t y + 2 z = 2t-2.

(B) Basta vedere quando A-B è ortogonale a Ct-B, dunque quando
    <A-B,Ct-A> = 2 - t + 2 si annulla.  Percio' solo per t = 4

(C) Il sottospazio vettoriale associato ad E è span((-1,1,-1)), quindi V è un
    piano di equazione -x + y - z = 0, o meglio x = y-z
    Gli elementi (1,1,0) e (-1,0,1) sono suoi elementi indipendenti, quindi
    V = span((1,1,0),(-1,0,1))

(D) V interseca E, perché è ortogonale allo spazio vettoriale ad esso associato,
    quindi V interseca anche Gt, che contiene E. Inoltre V non coincide con Gt,
    quindi la somma è tutto R^3. L'intersezione ha quindi dimensione 1.

(E) Bisogna trovare una base di R^3 che contenga un elemento di V. Possiamo
    prendere v1 = (1,1,0)/rad(2), v2 = (0,0,1), e v3 = v1 ^ v2 = (1,-1,0)/rad(2).

Esercizio 2.

(A) Il polinomio caratteristico di Az è P(x)=x^3+8z.
    Se z è non nullo ha tre radici distinte, quindi Az è diagonalizzabile.
    Se z=0 ha radice 0 con molteplicità 3. Se fosse diagonalizzabile sarebbe
    nulla, dunque non lo è.

(B) Gli autovettori di A0 sono i vettori nel nucleo. A0 ha rango 2, quindi il
    nucleo è generato da un vettore. A0((0,1,-1))=0, quindi gli autovettori
    cercati sono span((0,1,-1))

(C) L'autovettore cercato dovrà avere autovalore -2, che è l'unico autovalore
    reale di A1. Bisogna cercare un vettore nel nucleo di -2Id-A1, ad esempio
    (1,-2,-2).

(D) Non può esistere perché le due matrici hanno autovalori diversi.

(E) Gli z reali.