Matematica III - Scritto del 29/5/04 - Soluzioni


Esercizio 1

A) Una parametrizzazione e' data da
   [0,2pi]x[0,1] --> S
       (a,z)     |-> ((1+z)cos a, (1+z)sin a, z)

B) E' la differenza di due coni, onde ha volume 7pi/3
   Si puo' anche usare Stokes.

C) La forma e' uguale a d(theta)dz+ zdxdy dove theta e' l'angolo delle
   coordinate cilindriche di asse z. Dunque d(omega)=dxdydz

D) La forma omega e' la somma di due pezzi.
   L'integrale del pezzo d(theta)dz e' uguale a 2pi
   Per il secondo pezzo si fanno i conti e si trova -5pi/3.
   La somma dei due pezzi e' dunque pi/3.


Esercizio 2

A) I poli di f sono 0, -1, 1/2+i rad(3)/2, 1/2-i rad(3)/2.
   I relativi residui sono
   1, -e^(i)/3, -e^(-rad(3)/2-i/2)/3, -e^(rad(3)/2-i/2)/3

B) -2ipi e^(-rad(3)/2-i/2)/3

C) Se Re(z)>0 e Im(z)>0 allora Im(z^2)>0 dunque Re(i z^2)<0.
   Ne segue che |e^(iz^2)|<1.  Ma allora l'integrale e' maggiorato da pi/2/(r^3-1).

D) Utilizzando la definizione si ha:
   int_{A_r} f(z)dz = i int_0^{pi/2} e^(i(re^(it))^2) / (1+(re^(it))^3) dr
   Ora e' facile vedere che l'integrando tende a 1 uniformemente
   su [0,\pi/2] per r-->0 e si ha la tesi.