MATEMATICA III -- SOLUZIONE DEL COMPITO DEL 26/01/04


Esercizio 1

A) F e' una superficie di rotazione. Una parametrizzazione di F e' data da
   a(r,t)=(rcost, rsint, 1/r) con r appartenente a [1/2,2]  e t a [0,2pi].

B) L'elemento d'area rispetto alla parametrizzazione e' (1+r^4)^(1/2)/r
   D'altra parte f(a(r,t))=r^4 e dunque andando a calcolare risulta che l'integrale
   e' uguale a pi/3((1+16)^(3/2)-(1+1/16)^(3/2)).

C) Il volume di Omega e' uguale all'integrale della forma xdydz sul bordo di Omega
   (orientato secondo la normale esterna).
   Il bordo di Omega e' costituito da F e da due dischi orizzontali, sui quali la forma
   e' nulla, dunque si integra solo su F.  Svolgendo i conti risulta che
   il volume di Omega e' 3pi+pi/2-2p=(3/2)pi.

D) d(omega)=0 e dunque per la regola di Stokes l'integrale di omega sul bordo di Omega
   e' nullo.  Dunque l'integrale di omega su F e' la differenza degli integrali sui
   dischi orizzontali, che fa pi(4sin(1/2)-(sin2)/4).


Esercizio 2

A) f e' rapporto di funzioni olomorfe u(z)=exp(i pi z^n) e v(z)=(1+z^2n) e il
   denominatore ha finiti zeri. L'insieme delle singolarita' e' dagli zeri del
   denominatore  {1+z^2n=0}.
   I poli sono allora z_k=exp(i(pi/2n+kpi/n)) per k=0,...,2n-1.

B) Per il teorema dell'indicatore logaritmico, viene -2pi i n.

C) Siccome v e' un polinomio di grado 2n con 2n radici distinte gli zeri di v sono
   semplici e dunque per calcolare il residuo vale la formula
   Res(f,z_k)=u(z_k)/v'(z_k).
   Svolgendo i conti risulta che z_k^n=i(-1)^k e dunque
   u(z_k)=exp((-1)^(k+1)pi)
   D'altra parte v'(z)=2n z^(2n-1)=2nz^(2n)/z. Pertanto
   v'(z_k)=-2n(1/z_k) e il residuo si calcola.

D) All'interno del dominio limitato da C_R c'e' un unico polo per f e cioč z_0.
   Dunque risulta che l'integrale di f(z)dz lungo C_R e' uguale a 2pi i Res(f,z_0)
   ovvero -pi i/n exp(-1+(i/2n)pi).