Matematica III - Scritto del 19/6/04 - Soluzioni


Esercizio 1

A) Il dominio Omega e' l'insieme dei punti (t_0,x_0)
   tali che x_0 e' diverso da 0

B) L'equazione e' esatta. Una funzione costante sui grafici
   delle soluzioni e' f(t,x)=e^tx^3-t^4

C) Sia A=f(t_0,x_0).  La soluzione ha allora la formula x(t)=(e^(-t)(t^4+A))^(1/3),
   ma varia il suo intervallo di definizione.  Se A>0 infatti la soluzione esiste
   sempre, mentre se A<=0 la soluzione esiste in quello tra gli intervalli
   (-infinito,-(-A)^(1/4)),   (-(-A)^(1/4),(-A)^(1/4)),   ((-A)^(1/4)),+infinito)
   nel quale t_0 cade.  I casi risultano divisi come segue:
   Sia x_0>0
      Se A>0 la soluzione e' definita su R
      Sia A<=0
        Se t_0>0 la soluzione e' definita per t>(-A)^(1/4)
        Se t_0<0 la soluzione e' definita per t<-(-A)^(1/4)
        (si osservi che t_0 non puo' essere nullo se x_0>0 e A<=0)
   Sia x_0<0
      Allora A<0 e la soluzione e' definita per -(-A)^(1/4)<t<(-A)^(1/4)

D) Notiamo che se x_0<0 allora x(t)<0 per ogni t. Ora supponiamo che x'(t)=0.
   Derivando l'equazione e valutandola in t risulta 3e^tx(t)^2x''(t)-12t^2+e^tx^3=0
   e dunque x''>0. Percio' i punti stazionari sono punti di minimo
   (in particolare, esiste al piu' un minimo).
   Siccome il limite per t che tende agli estremi dell'intervallo di definizione
   di x e' zero, allora esiste un minimo interno.


Esercizio 2

A) Sappiamo che esiste z_0 nella chisura del quadrato che massimizza
   il modulo di phi. Se z_0 e' sul bordo, sommandogli un opportuno
   numero della forma (piu'/meno)1+(piu'/meno)i otteniamo un punto
   interno al quadrato Q (che ha lato 2).
   Siccome phi assume su questi punto lo stesso valore che in z_0,
   esso e' un punto di massimo interno per |phi|.

B) Una funzione olomorfa su Q il cui modulo assume massimo all'interno di
   Q e' costante su Q. Dunque phi e' costante su Q e percio' e' costante su C.

C) Notiamo che f^(d+1)(z+1)-f^(d)(z)=0 e f^(d+1)(z+i)-f^(d+1)(z)=0.
   Dunque f^(d+1)=c, e quindi f e' un polinomio di grado al piu' d+1

D) Per ogni w diverso da 0 Definiamo g(w) come psi(log(w)) dove log e' una
   determinazione locale del logaritmo. Notiamo che g(w) non dipende dalla
   determinazione che abbiamo considerato in quanto, se log* e' un'altra
   determinazione locale, si ha log*(w)=log(w)+2ikpi e
   psi(log* w)=psi(log w). Chiaramente g e' olomorfa su C-{0} e
   g(e^z)=psi(z).