Matematica III. Compito del 13/09/04. Soluzioni.


Esercizio 1

A) Il polinomio associato all'equazione e' p(t)=t^3-2t^2-t+2 ed ha
   radici 2,1,-1.  Dunque una base delle soluzioni e' data dalle funzioni
   e^(2t),   e^t,   e^(-t).

B) Applicando il metodo delle variazioni delle costanti risulta che
   una soluzione particolare dell'equazione differenziale e' (t+1/2) e^t,
   dunque la soluzione generale e' data da te^t +ae^t+ be^{-t} +c e^2t
   Siccome te^t soddisfa le condizioni iniziali, essa e' la soluzione del
   nostro problema.

C) Basta fare un confronto con la soluzione e^(2t) del problema u'=2u, u(0)=1.

D) Notiamo che y risolve il seguente problema di Cauchy:
   y''-y=sin^2(t), y(0)=0, y'(0)=1.  Dunque per t piccolo si ha y>0.  Del
   resto se y diventa negativa per un certo valore T allora esiste t in (0,T)
   punto di massimo positivo.  Ma allora y''(t)=y(t)+sin^2t>0
   e questo e' in contraddizione con il fatto che t e' un punto di massimo.

E) Basta porre x=u.



Esercizio 2

A) Le singolarita' reali sono del tipo x=n*pi per n intero.
   Esse sono tutte poli semplici.

B) Le singolarita' sono i punti z tali che sin(z) =2*k*pi*i
   Posto z=x+iy risulta che un punto singolare soddisfa le equazioni
   cosh(y) * sin(x) = 0
   sinh(y) * cos(x) = 2*k*pi.
   Dunque x = n*pi e y = arcsinh(2*k*pi*(-1)^n).
   Tutte le singolarita' sono poli semplici.

C) E' facile verificare che |sinh(1)|< 2pi, dunque all'interno di R
   le uniche singolarita' sono reali e in particolare sono
   -3pi,-2pi,-pi,0,pi,2pi,3pi.  Il residuo attorno a ciascuna singolarita'
   reale n*pi e' 1/cos(n*pi)=(-1)^n e dunque l'integrale e' uguale a -2*pi*i.

D) L'integrale da calcolare e' l'indicatore logaritmico della funzione
   e^(sin(z))-1.  Dal punto precedente risulta che esso e' uguale a 14*pi*i.