Matematica III - Scritto del 10/07/04 - Soluzioni


Esercizio 1

A) Una parametrizzazione di S e' data da
   c: [0,2pi]x[0,1] --> S
   c(t,r)=(r cos(t),r sin(t), 2cosh(1)-cosh(r))

B) L'elemento d'area di c e' r cosh(r) dt dr, dunque l'area e'
   A=2pi int_0^1 r ch(r)=2pi(1-1/e)

C) Usando la parametrizzazione ovvia e facendo il conto si trova
   cosh(1) int_0^{2pi*cos(t) e^(-sin(t)) dt = 0

D) Consideriamo il dominio racchiuso da S, C e dal disco D={x^2+y^2<=1, z=0}.
   Poiche' div v=0 risulta che l'integrale lungo S del flusso
   di v + l'integrale lungo C + l'integrale lungo D e' 0. Poiche' questi ultimi due
   integrali sono nulli, si ottiene che l'integrale
   lungo S e' nullo anch'esso.


Esercizio 2

A) Fissiamo 0<t_0<b e osserviamo che x_0=x(t_0)>0. Sia ora y
   soluzione del problema y'=y^2, y(t_0)=x_0.
   Risulta dal criterio del confronto che y(t)<x(t) per ogni t>t_0.
   Del resto possiamo calcolare y separando le variabili e otteniamo che
   y(t)= 1/c-t  dove c=t_0+1/x_0. In particolare risulta b<c<+infty.
   Studiando il segno di x' si nota che per t<0 la x rimane racchiusa
   nella regione convessa delimitata dalla curva arctg(t)+x^2=0
   (qualitativamente simile a una parabola attorno al semiasse negativo
   delle x).  Dunque a=-infty

B) A destra il limite e' +infinito.  A sinistra il limite esiste positivo,
   dunque x' tende a 0, dunque il limite e' rad(pi/2)

C) Risulta che se x'=0 allora x''=1/(1+t^2)>0

D) Poiche' lim_{t->b}=+infty, lim_{t->-infty}>0 e
   x(0)=0, esiste un punto di minimo. Per (C) esso e' unico (ed e' 0).