Matematica III - Scritto del 02/09/04 - Soluzione degli esercizi


ESERCIZIO 1

A) (x'+2t(1+t^2)^-1 x)' = x''+2t(1+t^2)^-1 x'+ 2 (1-t^2)/((1+t^2)^2)x.

B) Sia t0 il primo un punto critico. x(t0) non puo' essere nullo, altrimenti x
   e' sempre nulla.  Dall'equazione segue che x''(t0) e' positivo se x(t0) e' positivo,
   negativo se x(t0) e' negativo.  Dopo un minimo positivo non puo' esserci un massimo
   negativo, e viceversa.

C) Una soluzione si ottiene risolvendo x'+2t/(1+t^2)x=0.
   Una soluzione di questa equazione e' x1=1/(1+t^2).
   Per trovare una soluzione indipendente da x1 si risolve x'+2t/(1+t^2)x=c (con c non nulla)
   ponendo x2=x1*u.  Con i conti se vede che scegliendo c=3 viene u(t)=3t+t^3.

D) x=x1+x2.


ESERCIZIO 2

A) f e' meromorfa poiche' rapporto di funzioni olomorfe.
   Se c=0 f e' olomorfa. Altrimenti
   f ha un unico polo che e' -d/c. Il residuo relativo e'
   (bc-ad)/c^2.

B) Sia D=ad-bc allora f'=D/(cz+d)^2 e f''=-2cD/(cz+d)^3 da cui
   f''/f'=-2c/(cz+d) e a questo punto il conto esplicito mostra la tesi.

C) Si ottiene derivando esplicitamente (z+lambda)^2 v(z).

D) La prima affermazione si dimostra per induzione su n.
   Dallo sviluppo centrato in 0 segue che
   u(z)=k/(1-(kz)/2)=-2/(z-(2/k)) vicino a 0.  Quella trovata e' una funzione
   meromorfa su C, e dal principio di identita' segue che deve coincidere con u ovunque.

E) Dal punto (D) otteniamo che g''/g'=-2/(z+z_0).  Dal punto (C) ricaviamo che
   (z+z_0)^2g'(z) e' costante e dunque g'(z)=c/(z+z_0)^2. Pertanto
   g(z)= a-c/(z+z_0) e la tesi segue.