Matematica III - Scritto del 07/04/04
Esercizio 1
A. Una parametrizzazione e'
    p(t,s)=((R+acost)coss, (R+acost)sins, bsint), t,s in [0,2pi]
B. Il volume e' uguale all'integrale della forma xdydz sulla superficie
   (presa con l'orientazione della normale esterna)
   Svolgendo i conti utilizzando la parametrizzazione risulta
   V=2(pi^2)abR
C. L'elemento d'area espresso rispetto alla parametrizzazione scelta e'
   (R+a cost)(b^2cos^2t+a^2sin^2t)^(1/2)dsdt. Ora
   (b^2cos^2t+a^2sin^2t)<b^2+a^2 da cui si deduce la disuguaglianza cercata
D. In funzione dei parametri (t,s) abbiamo
    f(p(t,s))=(R+a cost)^2+b^2sin^2t
    Derivando otteniamo
    per a>=b il massimo di f e' (R+a)^2 preso dai punti p(0,s) per ogni s
    per a<=b distinguiamo due casi
     aR/(b^2-a^2)>=1  il massimo di f e' (R+a)^2 ed e' preso dai punti
                      p(0,s) per ogni s
     aR/(b^2-a^2)<1  il massimo di f e' b^2+R^2(b^2+a^2-1)/(b^2-a^2)
                     ed e' preso dai punti p(t0,s) dove s e' arbitrario
                     e cost0=aR/(b^2-a^2)



Esercizio 2
A. Utilizzando il criterio del confronto deduciamo che
    ke^(e^t-t-1)<x(t)<ke^(e^t-1)  per t>0
    ke^(e^t-1)<x(t)<ke^(e^t-t-1)  per t<0
   Dunque la soluzione non scoppia
B. Dalla prima stima risulta che il limite e' +infinito
C. Se t0 e' un punto di massimo o minimo allora la derivata seconda in t0
    e' x(t0)e^(t0). Siccome la soluzione e' positiva il punto
    puo' solo essere di minimo. Siccome tra due punti di minimo
    c'e' sempre un punto di massimo deduciamo che puo' esistere al piu' un
    punto di minimo.
D. Siccome esiste al piu' un punto di minimo esiste M tale che
    x su [-infty, M] e' cresente o decrescente e dunque il limite per
    t->-infty esiste. Dal punto C segue che c'e' al piu' un punto
    in cui x' e' nullo, dunque il grafico della soluzione puo' intersecare
    l'insieme {(t,x)|e^t=sin^2x} in al piu' un punto.  Ne segue che il limite
    e' finito. Di conseguenza la derivata x'(t) tende a 0 per t che tende a -infty.
    Allora x(t)->n pi per qualche n>=0.