MATEMATICA III - A.A. 02/03 - Argomenti delle lezioni svolte L01(01) - 30/09/03 Limiti di successioni e completezza dei reali. Limsup e liminf. Limiti di funzioni. Funzioni con argomento e valori vettoriali, reali o complessi. L02(02) - 30/09/03 Successioni estratte. Continuita' e uniforme continuita'. Insiemi aperti e chiusi. Funzioni continue su chiusi limitati. E01(03) - 30/09/02 Esercizi sulla definizione di limite. L03(04) - 01/10/03 Teorema di esistenza degli zeri. Nozione di "o" piccolo. Derivazione. Teoremi di Rolle e Lagrange. Derivate successive. Approssimazione di Taylor. Derivate parziali e direzionali. Matrice jacobiana. Matrice hessiana, sviluppo di Taylor al secondo ordine, massimi e minimi di funzioni di piu' variabili. L04(05) - 01/10/02 Integrale di una funzione positiva e di una arbitraria. Teorema fondamentale del calcolo integrale. Cambiamento di variabile. Integrali impropri. L05(06) - 02/10/02 Integrale di una funzione di piu' variabile. Integrazione successiva e cambio di variabile. Integrali impropri. Coordinate polari e sferiche. L06(07) - 02/10/02 Curve e loro parametrizzazioni. Curve semplici e chiuse. Lunghezza di una curva ed integrale di una funzione; indipendenza dalla parametrizzazione. Integrale di una 1-forma su una curva. E02(08) - 02/10/02 Esercizi di integrazione e derivazione. E03(09) - 02/10/02 Esercizi sulle successioni e sulla derivazione di funzioni composte. L07(10) - 07/10/03 Curve orientate, buona definizione dell'integrale di una forma. Differenziale di una funzione, suo integrale su una curva, interpretazione. Elemento d'area con segno. Orientazione del bordo di un insieme. L08(11) - 07/10/03 Differenziale di una 1-forma. Formula di Stokes per aperti del piano. Dimostrazione per rettangoli, cenno al caso generale. Differenziale secondo di una funzione. E04(12) - 07/10/03 Parametro d'arco su una curva. Esercizi di calcolo del parametro d'arco. L09(13) - 08/10/03 Teorema della divergenza. Forme chiuse ed esatte. Insiemi semplicemente connessi. E05(14) - 08/10/03 Esercizi sui limiti, sugli integrali, sui massimi. L10(15) - 09/10/03 Calcolo di aree tramite integrali curvilinei. Superfici, loro area, indipendenza dalla parametrizzazione. L11(16) - 09/10/03 Integrali di funzioni scalari su superfici. 2-forme e loro integrazione su superfici. Insiemi connessi. E06(17) - 09/10/03 Esercizi sull'integrazione. E07(18) - 09/10/03 Integrazione di 1-forme lungo cammini. Calcolo di integrali su domini del piano usando la regola di Stokes. L12(19) - 14/10/03 Integrazione di una 2-forma su una superficie riparametrizzata. Orientazione di una superficie. Definizione generale di integrazione di una 2-forma. E08(20) - 14/10/03 Esercizi sulle 1-forme. E09(21) - 14/10/03 Esercizi su 1-forme e 2-forme. L13(22) - 15/10/03 Orientazione di una superficie bordo di un aperto e di una curva bordo di una superficie. Formule di Stokes per 1-forme e per 2-forme. Teoremi della divergenza e del rotore. E10(23) - 15/10/03 Esercizi sulle 2-forme. L14(24) - 16/10/03 Formula di Stokes come integrazione per parti. Forme chiuse ed esatte nello spazio. E11(26) - 16/10/03 Esercizi su 1-forme, 2-forme, divergenza, rotore. L15(25) - 16/10/03 Curve nel piano come curve di livello e come grafici locali. Teorema del Dini. E12(27) - 16/10/03 Superfici di rotazione. L16(28) - 21/10/03 Superfici nello spazio: grafici locali e definizione implicita. L17(29) - 21/10/03 Curve nello spazio. Forma generale del teorema delle funzioni implicite. Moltiplicatori di Lagrange. Teorema di invertibilita' locale. E13(30) - 21/10/03 1-forme e 2 forme su aperti di R^3. Esempi espliciti di 1-forma chiusa e non esatta e di 2-forma chiusa e non esatta. L18(31) - 22/10/03 Rapporti tra il teorema di invertibilita' locale e quello del Dini. L19(32) - 22/10/03 Equazioni differenziali, ordine, problemi di Cauchy. Enunciato del teorema di esistenza e unicita' locale. L20(33) - 23/10/03 Sistemi di equazioni differenziali, riduzione dell'ordine. Esistenza grazie a stime a priori. Equazioni del primo ordine lineari ed esatte. E14(34) - 23/10/03 Esercizi sulle 2-forme, il rotore, la divergenza. E15(35) - 23/10/03 Esercizi sul teorema di invertibilita' locale e quello delle funzioni implicite. E16(36) - 23/10/03 Esercizi su massimi e minimi vicolati. E17(37) - 28/10/03 Esercizi sugli estremi vincolati e sulle superfici definite implicitamente. L21(38) - 28/10/03 Equazioni a variabili separabili. Risoluzione per sostituzione. Equazioni lineari omogenee: dimensione dello spazio delle soluzioni, matrice wronskiana. E18(39) - 28/10/03 Ancora su massimi e minimi vincolati. Dimostrazione della disuguaglianza tra media geometrica e media cubica. Esempio di funzione localmente invertibile e non globalmente invertibile. L22(40) - 29/10/03 Ricerca di soluzioni di equazioni omogenee tramite riduzione dell'ordine. Equazioni non omogenee, metodo della variazione delle costanti. Teorema del confronto. E19(41) - 29/10/03 Studi qualitativi di equazioni differenziali. E20(42) - 30/10/03 Equazioni differenziali lineari e polinomiali. E21(43) - 30/10/03 Studi qualitativi di equazioni differenziali. L23(44) - 30/10/03 Equazioni lineari a coefficienti costanti. Teorema di dipendenza continua dal dato iniziale. E22(45) - 30/10/03 Studi qualitativi di equazioni differenziali. L24(46) - 04/11/03 Sistemi bidimensionali autonomi: caso lineare e teorema di linearizzazione. E23(47) - 04/11/03 Esercizi su equazioni differenziali. E24(48) - 04/11/03 Studi qualitativi di equazioni differenziali. Equazioni esatte. L25(49) - 05/11/03 Equazioni alle differenze come approssimazione delle equazioni differenziali. Esistenze e unicita', problema dell'inversione del tempo. Equazioni lineari. E25(50) - 05/11/03 Esercizi su sistemi di equazioni differenziali. L26(51) - 06/11/03 Equazioni alle differenze a coefficienti costanti. Serie numeriche. Criteri di convergenza per serie a termini positivi. L27(52) - 06/11/03 Serie a termini di segno alterno. Discussione di commutativita' e associativita' per serie. Successioni e serie di funzioni. Convergenza puntuale e uniforme. Limite puntuale e uniforme di funzioni continue. E26(53) - 06/11/03 Studi qualitativi di equazioni differenziali. E27(54) - 06/11/03 Studi qualitativi di equazioni differenziali. L28(55) - 11/11/03 Serie di funzioni con norma convergente. Primitiva di un limite uniforme. Successioni di funzioni con derivate uniformemente convergenti. L29(56) - 11/11/03 Serie di potenze. Raggio di convergenza e metodi di calcolo. Comportamento agli estremi dell'intervallo di convergenza. E28(57) - 11/11/03 Studi qualitativi di equazioni differenziali. L30(58) - 12/11/03 Funzioni di variabile complessa. Metodi di rappresentazione. Funzioni a piu' valori e ramificazione. Serie di potenze complesse e loro convergenza. Versioni complesse di exp, sin, cos, sinh, cosh. E29(59) - 12/11/03 Esercizi sulle equazioni alle differenze e sulle serie numeriche. L31(60) - 13/11/03 Espressione reale e studio di cos e sin. Serie di potenze complesse. Forme differenziali complesse e loro integrali. L32(61) - 13/11/03 Funzioni olomorfe. Equazioni di Cauchy-Riemann. E30(62) - 13/11/03 Esercizi sulle serie e le successioni di funzioni. E31(63) - 13/11/03 Sistemi autonomi: esempio di linearizzazione. Esempio di sistema autonomo senza orbite circolari la cui linearizzazione intorno ad un punto critico ha orbite circolari. E32(64) - 18/11/03 Esercizi sulle serie di potenze reali. L33(65) - 18/11/03 Olomorfia delle somme delle serie di potenze. Operatori differenziali complessi e caratterizzazioni dell'olomorfia. Interpretazione geometrica delle equazioni di Cauchy-Riemann. E33(66) - 18/11/03 Sistemi autonomi definiti dal gradiente di una funzione. Studi qualitativi sulle orbite. L34(67) - 19/11/03 Chiusura delle forme con coefficiente olomorfo. Teorema di Cauchy-Goursat. Formula di rappresentazione di Cauchy. E34(68) - 20/11/03 Integrazione della forma 1/z dz: alcune proprieta'. E35(69) - 20/11/03 Integrazione della forma 1/z dz lungo l'immagine di una circonferenza di raggio abbasanza grande tramite una mappa polinomiale calcolo di un integrale utilizzando la formula di Cauchy. L35(70) - 25/11/03 Le funzioni olomorfe sono analitiche. Disuguaglianze di Cauchy. Funzioni olomorfe limitate sul piano. Teorema fondamentale dell'algebra. L36(71) - 25/11/03 Principio del massimo modulo. Principi di identita' e annullamento per funzioni olomorfe. Punti isolati e di accumulazione per insiemi. E36(72) - 25/11/03 Sviluppo in serie del prodotto di due funzioni olomorfe. Sviluppo in serie di 1/p dove p e' un polinomio di grado 2 con 2 radici distinte. L37(73) - 26/11/03 Zeri di funzioni olomorfe e loro ordine. Singolarita' isolate. Sviluppo di Laurent. Singolarita' eliminabili, poli, singolarita' essenziali. E37(74) - 26/11/03 Funzioni olomorfe definite da integrali. Primitive di funzioni olomorfe. Curve che si avvolgono piu' volte intorno a un punto. L38(75) - 27/11/03 Modulo di una funzione olomorfa vicino a una singolarita' isolata. Teorema di estensione di Riemann. Serie di Laurent. Aggiunta del punto infinito al piano complesso. E38(76) - 27/11/03 Integrali di forme complesse su curve chiuse e aperte. Sviluppi in serie di funzioni olomorfe. Serie di potenze complesse. E39(77) - 27/11/03 Esercizi sulla formula di Cauchy e la disuguaglianza Cauchy-Schwartz. L39(78) - 02/12/03 Comportamento di una funzione olomorfa all'infinito. Funzioni meromorfe. Residuo. Calcolo di integrali tramite il residuo. Calcolo dei residuo in un polo. L40(79) - 02/12/03 Calcolo di integrali reali impropri tramite i residui: i due teoremi. Esempi. E40(80) - 02/12/03 Risoluzione del compito di prova. L41(81) - 03/12/03 Integrale di sin(x)/x. Teorema dell'indicatore logaritmico. Prodotti scalari su spazi complessi. Funzioni a quadrato integrabile, successioni a quadrato sommabile. Coordinate di una proiezione ortogonale. E41(82) - 03/12/03 Funzioni olomorfe con crescita polinomiale. Funzioni definite tramite integrali. Successioni uniformemente convergenti di olomorfe. L42(83) - 04/12/03 Disuguaglianza di Bessel. Coefficienti di Fourier. Loro significato in termini di approssimazione di una funzione. Successione a quadrato sommabile associata ad una funzione. Incompletezza dello spazio delle funzioni a quadrato integrabile, usando l'integrale classico. E42(84) - 04/12/03 Studio di una funzione olomorfa che e' differenza di due meromorfe. E43(85) - 04/12/03 Lunghezza di curve che sono immagine tramite mappe olomorfe di circonferenze. Aree di domini che sono immagini tramite mappe olomorfe di dischi. Esercizi sui residui. L43(86) - 09/12/03 Coefficienti di Fourier reali. Approssimazione di Fourier come convoluzione con il nucleo di Dirichlet. Lemma di Riemann-Lebesgue. Criterio di convergenza puntuale del Dini. L44(87) - 09/12/03 Cenni ad altri risultati di convergenza. Coefficienti della funzione derivata e convergenza uniforme per funzioni derivabili. Esempi di serie di Fourier reali e calcolo della somma di alcune serie numeriche. E44(88) - 09/12/03 Esercizi sui residui. L45(89) - 10/12/03 Derivazione ed integrazione termine a termine della serie di Fourier. Prodotto e convoluzione di funzioni e di successioni. Serie di Fourier del prodotto e della convoluzione. E45(90) - 10/12/03 Esercizi sui residui. L46(91) - 11/12/03 Applicazioni della serie di Fourier alla soluzione di equazioni alle derivate parziali. L47(92) - 11/12/03 Trasformazione di Fourier come limite della serie, e formula della trasformazione inversa. Trasformata di una funzione assolutamente integrabile. E46(93) - 11/12/03 Esercizi sui residui. L48(94) - 16/12/03 Dimostrazione della formula per la trasformazione di Fourier inversa. L49(95) - 16/12/03 Proprieta' della trasformazione di Fourier. Applicazioni alla soluzione di equazioni alle derivate parziali. E47(96) - 16/12/03 Calcolo della serie di Fourier della funzioni x, x^3, e^x. Calcolo di alcune serie numeriche. L50(97) - 17/12/03 Trasformazione di Laplace e sue proprieta'. Formula della trasformazione inversa. Trasformazioni di Mellin e Zeta. E48(98) - 17/12/03 Esercizi sulla serie di Fourier. E49(99) - 18/12/03 Esercizi sulle trasformazioni di Fourier e Laplace. E50(100) - 18/12/03 Trasformata di Fourier della gaussiana. Trasformata di Fourier della funzione caratteristica di un intervallo centrato in 0.