Matematica II - Scritto del 29/05/04 - Soluzioni Esercizio 1. (A) Analizzando le matrici dei coefficienti delle equazioni cartesiane si ottiene dim Vh=1 per ogni h, dim Wh=2 per h=0 e dim Wh=1 altrimenti. (B) Vh={(-1-2h^2,0,0)+t(-h,0,1)} W0=Span {(0,1,0),(0,0,1)} Se h e' diverso da 0, Wh={(-h^2,-h,0)+t(-h,-1,1)}. (C) Si ponga v=(-1-2h^2,0,0)+a(-h,0,1), w=(-h^2,-h,0)+b(-h,-1,1). Imponendo che v-w sia ortogonale sia a (-h,0,1) sia a (-h,-1,1) si ottengono due equazioni in a e b, che hanno soluzione a=-2h, b=-h. Dunque vh=(-1,0,-2h), wh=(0,0,-h). (D) ||x-y||^2=== +2+. Per il punto (C), il doppio prodotto scalare e' nullo e si ottiene ||x-y||^2=||x-vh-(y-wh)||^2+||vh-wh||^2, che e' maggiore o uguale a ||vh-wh||^2. Esercizio 2. (A) Ponendo lambda=0, si ottiene ad esempio z1=(1-i,0,2). Si verifica poi che questo vettore soddisfa la proprieta' richiesta per ogni lambda. (B) Ponendo lambda=0, si ottiene ad esempio z2=(0,1,-1-i). Si verifica poi che questo vettore soddisfa la proprieta' richiesta per ogni lambda. (C) La matrice richiesta e' i 0 0 0 lambda -lambda 0 0 1 (D) Se lambda e' diverso da i e 1 l'applicazione ha tre autovalori distinti ed e' percio' diagonalizzabile. Se lambda=i, l'autovalore i ha molteplicita' alg. e geom. 2, e l'autovalore 1 ha molteplicita' alg. e geom. 1, per cui l'applicazione e' diagonalizzabile. Se lambda=1, l'autovalore 1 ha molteplicita' alg. 2 e geom. 1, per cui l'applicazione non e' diagonalizzabile. Dunque flambda e' diagonalizzabile per tutti i valori di lambda eccetto lambda=1.