Scritto di Algebra e Geometria del 26/01/2004.

Soluzione degli esercizi.

Esercizio 1.

(A) Imponendo che Bk sia hermitiana si ottiene k=3i o k=-4i. Se k=-4i,
    il secondo elemento sulla diagonale e' -4, per cui la matrice non e'
    definita positiva. Se k=3i, i determinanti dei minori dati dalle prime
    j righe e j colonne per j=1,2,3 sono dati da 2,6,1 rispettivamente,
    per cui k0=3i.

(B) Imponendo che (3i,3,s) sia ortogonale a (i,2,-i) e (i,0,0) si ottiene
    s=-2i.

(C) z2-2iz3=-i.

(D) Sostituendo la parametrizzazione della retta nell'equazione cartesiana
    del piano si ottiene w=(-3,3i,2).

(E) Ortonormalizzando ((-3,3i,2),(i,2,-i),(i,0,0)) si ottiene
    ((-3,3i,2),(i,2,-i),(2i,2,-i)).


Esercizio 2.

(A) La matrice richiesta e'
    1+h   -1-h   -1+h
     2h     0      2h
   -1-h    1-h    1-h.

(B) Il determinante della matrice al punto precedente e' uguale a 8h^2,
    per cui h0=0. Una base di Ker(fh0) e' data da (1+x,1+x^2).

(C) p1(x)=1-x^2.

(D) Si costruisce la matrice che ha come colonne le coordinate di p1(x),
    p2(x) e fh(p2(x)) rispetto alla base canonica. Se h e' diverso da 0,
    il determinante di tale matrice e' diverso da 0.

(E) La matrice richiesta e'
    2    0     0
    0    0   -4h^2
    0    1     0.

(F) Il polinomio caratteristico della matrice al punto precedente e'
    (t-2)(t^2+4h^2), per cui l'applicazione non e' diagonalizzabile se h
    e' diverso da 0. D'altronde f0 e' diagonalizzabile per quanto dimostrato
    ai punti (B) e (C).