Algebra Lineare. Scritto del 19/06/04. Soluzioni.



Esercizio 1.


(A) Risolvendo il sistema si ottiene che la terza equazione
    dipende dalle prime due, che sono tra loro indipendenti.
    Si ottiene pertanto che W ha dimensione 2=4-2.
    Inoltre W={(1,-1-i,0,0)+a(0,-1-i,1,0)+b(i,1,0,1)} al 
    variare di a,b in C.

(B) Il vettore che da' la giacitura di rs deve verificare
    il linearizzato del sistema che definisce W.    
    Si ottiene s0=1.
 
(C) Chidedendo che il vettore che da' la giacitura di rs sia
    ortogonale ai due vettori che danno la giacitura di W si
    ottiene s1=-1. Mettendo a sistema W e rs1 si ha che l'intersezione
    e' il punto (1,0,-1,0).

(D) Sostituendo il generico vettore di r0 nelle equazioni che
    definiscono W si ottiene un sistema senza soluzioni.
    Inoltre il vettore di giacitura di r0 non soddisfa le
    equazioni di W linearizzate.

(E) Se s=0, W e rs non si intersecano e non sono paralleli,
    per cui la dimensione cercata e' 2+1+1=4.
    Se s=s0=1, rs e W sono paralleli ma non contenuti l'uno
    nell'altro, per cui la dimensione cercata e' 3.
    Se s=s1=-1, allora rs e W sono incidenti ma non paralleli,
    per cui la dimensione cercata e' ancora 3.



Esercizio 2.

(A) Si ponga M= x1 x2 e si risolva il sistema fk(M)=kM. 
                x3 x4
    Si ottiene x1=x3, x2=x4, per cui una base per W e'
    1 0    0 1         
    1 0,   0 1.

(B) Applicando fk a 0 0 si ottiene 0 0 piu' 0 -k
                    0 1            0 1      0 -k        
    Queste due matrici appartengono a Z.

(C) Scegliendo come B l'unione della base di W data in (A) e 
    la matrice 0 0  
               0 1,
    si ottiene la matrice
    k  0  0
    0  k  -k
    0  0  1.
           
(D) Per il punto precedente, gk e' invertibile se e solo se
    k e' diverso da 0.

(E) Se k=1, l'autovalore 1 ha molteplicita' algebrica 3 e 
    molteplicita' geometrica 2, per cui gk non e' diagonalizzabile.
    Se k e' diverso da 1, l'autovalore k ha molteplicita' algebrica
    e geometrica uguale a 2, e l'autovalore 1 ha molteplicita' 
    algebrica e geometrica uguale a 1, per cui gk e' diagonalizzabile.