Scritto del 10/07/04. Soluzioni.



Esercizio 1.

(A) p1(x)=1+(1+i)x.

(B) p2(x)=1-(1+i)x.

(C) flambda(x^2)=2p1(x)+2lambda x^2, per cui la matrice richiesta e'
    2    0     2
    0   2i     0
    0    0   2lambda

(D) Determinante 8ilambda, autovalori 2, 2i, 2lambda

(E) Se lambda e' diverso da i e 1 l'applicazione ha tre autovalori
    distinti ed e' percio' diagonalizzabile.
    Se lambda=i, l'autovalore 2i ha molteplicita' alg. e geom. 2,
    e l'autovalore 2 ha molteplicita' alg. e geom. 1, per cui
    l'applicazione e' diagonalizzabile.
    Se lambda=1, l'autovalore 2 ha molteplicita' alg. 2 e geom. 1,
    per cui l'applicazione non e' diagonalizzabile.
    Dunque flambda e' diagonalizzabile per tutti i valori di lambda
    eccetto lambda=1.



Esercizio 2.

(A) La matrice che ha come colonne i vettori ha determinante -4.

(B) W=Span ((2,1,0),(-5,0,1))

(C) Indichiamo con [v] le coordinate di v rispetto a B.
    Allora g(x)=[x+(0,2,0)]=[x]+[(0,2,0)]=[x]+(1,-1,1).
    Dunque h(x)=g(x)-(1,-1,1)=[x] e' lineare.
    Ne segue che v0=(1,-1,1).

(D) g(W)=v0+h(W), per cui g(W) e' un sottospazio affine.
    Poiche' [(2,1,0)]=(1,0,1) e [(-5,0,1)]=(-2,-1,-1), si ha
    g(W)={(1,-1,1)+t(1,0,1)+s(-2,-1,-1)}.

(E) x1-x2-x3=1