Matematica II - Scritto del 02/09/04 - Soluzione degli esercizi

Esercizio 1.

(A) det (Alambda)=lambda, per cui lambda0=0.

(B) Risolvendo il sistema si ottiene v0=(-i,i,1).

(C) Risolvendo il sistema si ottiene v1=(1,0,1).

(D) La matrice che ha come colonne i tre vettori dati
    ha determinante diverso da 0.
    La matrice richiesta e' data da
    lambda  0     i
      0     1     0
      0     0     1.

(E) Se lambda e' diverso da 1, poiche' l'autospazio relativo a
    lambda ha dimensione 1 e l'autospazio relativo a 1 ha dimensione
    2, l'applicazione e' diagonalizzabile.
    Se lambda e' uguale a 1, la molteplicita' algebrica di 1 e' uguale
    a 3, ma l'applicazione e' diversa dall'identita', e percio'
    non e' diagonalizzabile.


Esercizio 2.

(A) No comment.

(B) Basta togliere il primo vettore.

(C) Le funzioni X->AX e X->[X] sono lineari.

(D) Sulla base del punto (B) la fk risulta

     4   k   0
     5   0  -k
     0   5   4
    -k   4   5,

    che ha rango 2 quando k=3,-3. Dunque k1=-3, k2=3.

(E) gk1(T)={(x1,x2,x3,x4): 5x1-4x2+3x3=0, 4x1-5x2+3x4=0}
    gk2(T)={(x1,x2,x3,x4): 5x1-4x2-3x3=0, 4x1-5x2-3x4=0}.
    Dalle equazioni segue subito che l'intersezione e' banale.