Scritto del 07/01/2004. Soluzioni degli esercizi.


Esercizio 1.

(A) fk è somma di una funzione lineare e di una costante,
    dunque la sua immagine è un sottospazio lineare traslato,
    dunque un sottospazio affine.

(B) Sia gk la funzione lineare associata a fk. La matrice
    che rappresenta gk ha rango uguale a 2 per k=-1,
    rango 3 altrimenti. Dunque Vk ha dimensione 2 se k=-1,
    dimensione 3 altrimenti.

(C) Se k e' diverso da -1, l'equazione e' x2-x4=1-k.
    Altrimenti le equazioni sono x2-x4=2, x1+x3=1.

(D) Imponendo che la direzione di rk sia ortogonale alle colonne
    di gk si ottiene k2=0. Imponendo che (-1,0,0,1) verifichi
    l'equazione cartesiana al punto (C) si ottiene k3=2, e si verifica
    che effettivamente r2 è contenuta in V2.

(E) Per la fomula di Grassmann, quando dim Vk=3 si ha Vk+rk=R4, a meno
    che sia rk contenuta in Vk. Inoltre, quando k=-1 una verifica
    diretta mostra che rk e Vk non si intersecano e che rk non e'
    parallela a Vk. La formula Di Grassmann implica allora che
    anche in questo caso rk+Vk=R4. Dunque rk+Vk=R4 per ogni valore di k
    diverso da 2.
    
Esercizio 2.

(A) Sia l=lambda. La matrice richiesta e'
    2il     0     0
    l-1  il+l^2  l-1
     0      0    2l^2
     
(B) Il rango della matrice al punto (A) e' uguale a 1 se l=0, 
    a 2 se l=-i, a 3 altrimenti. Dunque dim Ker(glambda)=2 se l=0,
    1 se l=-i, 0 altrimenti.

(C) Gli autovalori della matrice al punto (A) sono distinti
    per l diverso da 0 e i. Se l=0 la molteplicita' algebrica
    di 0 e' 3, ma glambda non e' 0. Se l=i la molteplicita'
    algebrica di -2 e' 3, ma glambda non e' -2Id.
    Dunque glambda e' diagonalizzabile se e solo se lambda
    e' diverso da 0,i.
    
(D) Le matrici richieste sono
    l^2-il   1-l          0   1         0    l-1
       0      0 ,         0   0,        0  l^2-il