ALGEBRA LINEARE - A.A. 03/04 - Argomenti delle lezioni svolte L01(01) - 01/10/03 Operazioni sulle forze. Trasformazioni del piano: traslazioni, omotetie, rotazioni. Matrici 2x2, moltiplicazione per vettori e tra loro. L02(02) - 01/10/03 Composizione di rotazioni. Intersezione tra rette. Numeri di Fibonacci. Numeri naturali ed interi. Principio di induzione. E01(03) - 02/10/03 Esercizi sui sottoinsiemi del piano e sul principio di induzione. L03(04) - 03/10/03 Numeri razionali e reali. Polinomi. Dimostrazioni per assurdo. L04(05) - 03/10/03 Spazi vettoriali: definizione, prime conseguenze, esempi (spazio ordinario, matrici). L05(06) - 08/10/03 Spazio delle funzioni reali, spazio dei polinomi. Sottospazi. Intersezione. Sottospazio generato. E02(07) - 08/10/03 Esempi di insiemi che sono e che non sono sottospazi. E03(08) - 09/10/03 Esercizi sul principio di induzione e sulle dimostrazioni per assurdo. Sottospazi vettoriali di spazi di polinomi. L06(09) - 10/10/03 Vettori linearmente dipendenti e indipendenti. Basi, dimensione, coordinate. Base canonica dello spazio ordinario. E04(10) - 10/10/03 Esempi di insiemi linearmente indipendenti e non. Esempi di base, calcolo di coordinate. L07(11) - 15/10/03 Buona definizione della dimensione. Corrispondenza tra spazi della stessa dimensione. L08(12) - 15/10/03 Insiemi di generatori e linearmente indipendenti in uno spazio di dimensione data. Aggiunta di vettore a un sistema linearmente indipendente. Spazi non aventi basi. Dimensione di un sottospazio. E05(13) - 16/10/03 Esercizi su indipendenza lineare e basi. Dimensione di sottospazi di R^n e di spazi di polinomi. E06(14) - 17/10/03 Costruzione di basi: estrazione e completamento. Somma di sottospazi. Formula di Grassmann. L09(15) - 17/10/03 Esercizi su basi e coordinate. L10(16) - 22/10/03 Dimostrazione della forula di Grassmann. Lo spazio delle successioni "alla Fibonacci". L11(17) - 22/10/03 Applicazioni lineari: esempi, nucleo, immagine. E07(18) - 23/10/03 Esercizi su sottospazi di R^4. Costruzione di basi di sottospazi, coordinate di vettori rispetto a basi date. L12(19) - 29/10/03 Applicazioni lineari iniettive. Formula della dimensione. Prodotto righe per colonne: proprieta' distributive e associativa. Matrice identita'. Applicazione lineare associata ad una matrice. E08(20) - 29/10/03 Esercizi su estrazione e completamento e sulla formula di Grassmann. E09(21) - 30/10/03 Applicazioni lineari tra spazi di matrici: alcuni esempi di calcolo della dimensione del Ker e dell'Immagine. L13(22) - 31/10/03 Somme dirette e proiezioni associate. Matrici simmetriche e antisimmetriche. E10(23) - 31/10/03 Esercizi sulla formula di Grassmann. L14(24) - 05/11/03 Lo spazio delle applicazioni lineari. Corrispondenza con le matrici nel caso degli spazi numerici. Dimensione. Definizione di una applicazione lineare su una base. E11(25) - 05/11/03 Esercizi su applicazioni lineari e somme dirette. E12(26) - 06/11/03 Esercizi su somma diretta, proiezioni e applicazioni lineari associate a matrici. L15(27) - 07/11/03 Matrice associata ad una applicazione. Ancora sulla dimensione dello spazio delle applicazioni lineari. Problema del cambiamento di base per coordinate e matrici. Matrice della composizione. E13(28) - 07/11/03 Esercizi sulle applicazioni lineari. L15(29) - 12/11/03 Cambio di base nelle coordinate e nelle matrici. Sistemi lineari. Rango e teorema di Rouche'-Capelli. Sistemi omogenei e non omogenei. Sistemi quadrati, sovradeterminati, sottodeterminati. Invertibilita' di una matrice 2x2. E14(30) - 12/11/03 Esercizi sulle applicazioni lineari. L17(31) - 13/11/03 Determinanti 2x2 e 3x3, interpretazione geometrica e segno. Enunciato delle proprieta' caratterizzanti del determinante. Teorema di Binet. E15(32) - 14/11/03 Esercizi sulla matrice associata ad un'applicazione lineare. L18(33) - 19/11/03 Segnatura di una permutazione. Espressione del determinante tramite permutazioni. Determinante della trasposta. Sviluppi di Laplace. L19(34) - 19/11/03 Inversa di una matrice. Regola di Cramer. Sottomatrici e orlate. Calcolo del rango di una matrice. E16(35) - 20/11/03 Esercizi sulle matrici associate ad un'applicazione lineare. E17(36) - 21/11/03 Applicazioni lineari dipendenti da un parametro. Esercizi sul determinante e sull' invertibilita' di matrici e applicazioni lineari. L20(37) - 26/11/03 Sottospazi affini di spazi vettoriali. Equazioni parametriche e cartesiane. Rette nel piano. Rette e piani nello spazio. E18(38) - 26/11/03 Calcolo di inversa e rango di una applicazione lineare tramite passaggio alla matrice. L21(39) - 27/11/03 Somma e intersezione di sottospazi affini. L'unita' immaginaria. I complessi come campo. Parte reale e immaginaria, coniugio, inverso, modulo. E19(40) - 28/11/03 Esercizi su sistemi lineari non omogenei dipendenti da un parametro. L22(41) - 03/12/03 Disuguaglianza triangolare. Forma polare. Significato geometrico di somma e prodotto di complessi. Esponziale complessa. Equazioni polinomiali, teorema fondamentale dell'algebra, molteplicita', radici dell'unita'. Spazi vettoriali complessi. Dimensione reale e complessa. E20(42) - 03/12/03 Risoluzione del compito di prova. L23(43) - 04/12/03 Distanze e angoli nel piano. Prodotti scalari. Funzioni bilinari e simmetriche su R^n. Norma. Disuguaglianze di Cauchy-Schwartz e triangolare. Distanza associata a una norma. Sistemi ortogonali. Coordinate rispetto a una base ortogonale. E21(44) - 05/12/03 Determinante della matrice di Vandermonde. Esercizi su matrici, coordinate e sottospazi affini. L24(45) - 10/12/03 Normalizzazione. Ortonormalizzazione di Gram-Schmidt. Ortogonale a un insieme. Decomposizione ortogonale e proiezione. Interpretazione geometrica. Disuguaglianza di Bessel. Prodotto vettoriale nello spazio. Applicazioni autoaggiunte e ortogonali. Matrici simmetriche e ortogonali. E22(46) - 10/12/03 Esercizi su spazi vettoriali complessi. L25(47) - 11/12/03 Prodotto scalare sui complessi. Cambio di base per una applicazione lineare e coniugio di una matrice. Diagonalizzabilita'. Autovalori, autovettori, autospazi. Polinomio caratteristico. E23(48) - 12/12/03 Esercizi sul prodotto scalare. L26(49) - 17/12/03 Traccia e determinante di una applicazione lineare. Molteplicita' algebrica e geometrica degli autovalori. Criterio di diagonalizzabilita'. Teorema spettrale. Matrici simmetriche e hermitiane definite positive. E24(50) - 17/12/03 Esercizi sul prodotto scalare. E25(51) - 18/12/03 Esercizi sul polinomio caratteristico e la diagonalizzazione. E26(52) - 19/12/03 Esercizi sulla diagonalizzazione.